我對幾何不太瞭解，所以說話要小心點兒。
在初中，幾何就顯示了與代數大相徑庭的一面。代數、幾何，一數一形，就像《射鵰》中的東邪西毒，風格迥異，哪兒哪兒都不一樣。相對來說，代數問題的套路相對固定，拼到最後是拼內力；而幾何的招式則千變萬化，法無定法，式無定式。一道代數題，即使不會，也能寫上點兒，但是一道幾何題說撂那兒就撂那兒了。初中我們學的是歐幾里得幾何，這就是它的臭毛病。
但正是這個歐氏幾何，讓歐洲的數學改變了模樣。
幾何學捨棄了物質的所有其它性質，只保留了空間形式和關係。這種抽象性決定了歐幾里得幾何的思維方法，即邏輯推理的方法。許多歐洲數學家學習都從《幾何原本》學起，錘鍊自己的思辨能力，所以從它問世，歐洲的數學就變成了推理的數學。
中國數學走了一條完全相反的道路，這一道路最終使中國數學走向衰落。《九章算術》很牛，但是其敘述多為解決實際問題，從問題中體現計算技巧。問題解決了也就解決了，能否推廣，能否挖掘，能否道出更深刻的意義呢？
幹完收工，操那麼多閒心幹嘛？
我們的文化很講究實用性，沒有用的東西不討論。但是這個東西到底有用沒用說誰能說得清楚呢？你所說的沒用只是以你的眼界來看，你怎麼知道其他人看來就沒有用呢？也許今天沒有用，這個時代沒有用，你怎麼知道永遠沒有用呢？但是可惜，只要對我沒用，今天沒用，我說沒用，它就是沒用。
直到今天，中國許多天天用數學的工科生還看不起數學；直到今天，數學專業的眾多學子也還覺得自己學的東西“沒有用”。
歐洲人不那麼想，他們早就不那麼想了。他們喜歡制訂規則，而不是隻解決個例，他們死板卻有章法。他們很早就崇尚推理的數學，使數學建立在一定的理論根基上，如果理論過不去，即使每一次驗證都對，也不能說一定成立。所以，他們建立了體系，在這個體系下，數學開始快速發展。
事實證明，這些東西都有用，後來也都用上了。
歐幾里得幾何是一個公理化體系，20條公理可以分為5組。其中的第五公理（平行公理）備受關注，這是因為：
1.它和前4組公理不同，第5組只有一條；
2.它的第一次應用是證明第29定理，此後似乎總在避免使用它。
這個公理可以用容易理解的等價語言描述為：
“過直線外一點，在這點與直線所確定的平面內只能作一條直線與已知直線平行。”
還可以用更加直觀地語言描述：
千百年來，許多數學家對此公理的正確性和必要性都產生了懷疑，他們試圖用其它的幾個公理證明它，但是都沒有成功。直到1826年，羅巴切夫斯基在其任教的喀山大學數理系的會議上宣讀了一篇與傳統幾何完全不同的新幾何學內容的論文。他在文章提出一個驚人的論斷：三角形內角和可以等於180°，也可以小於180°，前者導致歐幾里得幾何，後者導致一種新的幾何。他將這種新的幾何稱為想象幾何或虛幻幾何。老羅的謙虛和幽默沒有用對地方。試想，連你自己都覺得虛幻的東西能讓別人相信嗎？它的報告果不其然地遭到了著名學者的嘲笑和攻擊。但是他還是在1829年發表了論文《論幾何原本》，與後來他發表的5篇論文一起，奠定了新幾何學的基礎。
事實上，早在1816年，偉大的高斯就得到了這一幾何體系的雛形，但是過於謹慎的性格讓他隱藏了自己的成果，唯恐被世人嘲笑其“荒誕無稽”。少年成名使高斯揹負了很大的壓力，導致過於看重自己的名聲，他不允許大家對他有哪怕是一時的懷疑，不灑脫！
發現這一幾何體系的還有第三個人，匈牙利年輕數學家J. 鮑耶（J. Bolyai），當時他只有21歲。他興致勃勃地將其寄給他父親（F. Bolyai）的同學高斯。可以想象當時高斯五味雜陳的心理，想對這個小朋友說“其實叔叔早就發現了”，但又怕有損自己的名聲，支持也不是，不支持也不是，只好冷處理。這一冷處理又讓世界失去一個優秀的年輕數學家，脆弱的小鮑耶雖然還是活蹦亂跳，但從此放棄了對數學的研究。當然這也不能全怪小鮑耶，在他之前，他的父親其實很長時間都在證明第五公理，但是都失敗了。於是他語重心長地對兒子說：“不要再做克服平行公理的嘗試了……它會剝奪掉你生活中的一切時間、健康、休息和幸福”。多麼痛的領悟。但小鮑耶當時還是堅持研究，最終超越了父親，取得了與羅巴切夫斯基同樣重大的成就。所以這種新的幾何學應該稱為“羅巴切夫斯基-鮑耶幾何”。
現在已經有了“三角形內角和等於180°”和“三角形內角和小於180°”兩個公理帶來的兩個幾何體系，我們不禁要問：有“三角形內角和大於180°”的幾何學嗎？黎曼大叔告訴你，這個可以有。
1.“三角形內角和等於180°”等價於“過直線外一點，在這點與直線所確定的平面內有且僅有一條直線與已知直線平行”；
2.“三角形內角和小於180°”等價於“過直線外一點，在這點與直線所確定的平面內至少有兩條直線與已知直線平行”；
3.三角形內角和大於180°”等價於“過直線外一點，在這點與直線所確定的平面內沒有直線與已知直線平行”。
黎曼基於“三角形內角和大於180°”構建了新的幾何體系，所以這種幾何毫無爭議地被稱作黎曼幾何。在黎曼發現了新的第五公理之後，雖然覺得挺有意思，但是他也認為這一發現有點荒誕，只把它當作一個遊戲而已。其實他錯了。早在公元1世紀，數學家和天文學家們就在研究球面上的幾何，球面上的三角形內角和就是大於180°的。並且，當他發現新公理60年之後，火急火燎的愛因斯坦對其相見恨晚，心想，娘西皮，好險！差點兒就沒有廣義相對論了。
黎 曼
高斯在“羅巴切夫斯基-鮑耶幾何”方面處境尷尬，對“黎曼幾何”卻有知遇之恩，原因主要是：黎曼是他的學生，你懂的！當時，高斯為黎曼在牛氣哄哄的哥廷根大學謀得一個沒有編制的講師職位，黎曼感恩戴德。高老師擺擺手，示意他冷靜，不要高興得太早，想得到這個合同工職位還是需要試講滴！但是你也不要害怕，因為我，就是面試官之一。黎曼說好的好的，學生明白。按照慣例，試講人需要準備三個題目，面試官在試講之前臨時抽取一個。黎曼把最不靠譜的“三角形內角和大於180°”放在第三個，因為一般面試官會讓抽第一個，很少抽到第三個。壞就壞在高斯看到了這三個題目，大眼一掃，看到第三個，呵，這孩子考慮的這個問題老子已經考慮了60年了，看他能整出什麼么蛾子，講第三個。這一講沒有給老師丟人，並且在準備了兩個月之後，寫出一部絕妙的數學經典之作，事後解了愛因斯坦的燃眉之急。
除了這三種糾結的幾何之外，還有兩種重要的幾何：解析幾何和微分幾何。
解析幾何第一次將數和形統一，同時開創了變量數學時代，是數學史上的一次劃時代的革命。微分幾何則是利用微分方法研究三維歐氏幾何中曲線和曲面的內在性質。
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