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萊昂哈德·歐拉(Leonhard Euler)是數學史上最多產的一位數學家。他生前共出版了 800 多篇論文和著作，其中 58% 是數學方面的，物理-力學和天文學各佔了 28%和 11%，餘下 3% 是關於航海學和建築學[1]。不可思議的是，即便在他逝世後，人們又整理發現了他的 400 多篇尚未發佈的論文。時至今日，其著作和信件仍未全部面世——它們多達70卷，長達幾萬頁。
[1] 蔡天新, 《難以企及的人物 - 數學天空的群星閃耀》
歐拉涉足的研究領域十分廣泛，從數論、圓幾何、音樂理論等“純粹”研究，到無窮級數、對數、微積分和力學，再到光學、天文學、行星運動、航海學及其它實用領域。歐拉提出的想法如此之多，以至於其後繼者們一直忙於跟進這些想法。法國應用數學家皮埃爾-西蒙·拉普拉斯(Pierre-Simon Laplace)對人們提出了這樣的忠告：“讀讀歐拉吧，他是我們所有人的老師。”
許多概念無疑都以歐拉的名字命名：歐拉常數、多面體歐拉定理、三角形的歐拉線、歐拉動力學方程、歐拉圖、歐拉五邊形數定理等等。
歐拉的一生可以分為四個時期。1707年4月15日，生於瑞士巴塞爾，在那裡長大並步入大學。20歲時，在俄羅斯聖彼得堡學院擔任數學系教授。然而由於在聖彼得堡的處境愈發艱難，於1741年移居柏林，並在那裡生活了25年。而再次由於處境艱難(雖原因不同)，於1766 年回到聖彼得堡，在那裡度過了餘生，最終於1783年去世。
▌巴塞爾時期
歐拉的父親保羅·歐拉(Paul Euler)是一名謙遜的基督教加爾文宗的牧師，他希望子承父業。於是小歐拉在14歲時進入巴塞爾大學(這個入學年齡在當時看來並不奇怪)，主修神學、希伯來語、法學和哲學。
但在大學期間，歐拉遇到了當時歐洲最優秀的數學家約翰·伯努利(Johann Bernoulli)。他對歐拉的數學能力印象深刻，同意在每週六為他單獨授課，並很快意識到他的這位學生是多麼與眾不同。歐拉也與他的兩個兒子丹尼爾·伯努利(Daniel Bernoulli)和尼古拉二世·伯努利(Nicolaus II Bernoulli)成為摯友，儘管尼古拉不久後便去世了。
▲ 丹尼爾·伯努利、約翰·伯努利、尼古拉·伯努利
1724年，17歲的歐拉取得了哲學碩士學位之後，受到父親的影響便進入神學院為一名合格的牧師做準備。
“我必須進入神學系讀書，並認真學習希臘語和希伯來語，但我並沒有取得多少進展，因為我將大部分的時間都用在了學習數學。且令我開心和幸運的是，我每週六仍可以去拜訪約翰·伯努利先生。”
幸運的是，雖然歐拉的父親十分不情願，但伯努利還是說服他相信自己那位天賦異稟的兒子是命中註定要成為一名偉大的數學家。於是，歐拉被允許離開神學系，開始了他璀璨耀眼的數學生涯。
歐拉在 20 歲時就取得了第一個重要的數學成就。他在回憶錄中寫道，巴黎科學院曾主辦過一個有獎徵文競賽，問題是如何找出船上桅杆的最優放置。歐拉的論文落敗在當時“艦船建造學之父”的皮埃爾·布格之手，只獲得二等獎。不過，歐拉此後共獲一等獎了 12 次之多！
之後，歐拉試圖留在巴塞爾大學申請數學系教授一職，遺憾沒能成功。此時，好友丹尼爾·伯努利正在俄羅斯聖彼得堡科學院任職，並邀請歐拉前來。但當時職位緊缺，唯有醫學和生理學系的教職仍有空席，因此，歐拉就自學了這些科目，並在對耳部研究的過程中對聲音的數學原理和波的傳播產生了興趣。
▌前聖彼得堡的時期
就在1727年5月17日歐拉抵達俄羅斯的當天，命運給他開了個玩笑。俄國開明的女皇葉卡捷琳娜一世在這天就去世了，同時俄國皇家科學院也就失去了當權者的支持。
▲ 腓特烈大帝、 葉卡捷琳娜二世、葉卡捷琳娜一世畫像
當時，皇位的繼承者彼得二世還是個小男孩，由俄國貴族掌權的派系將科學院看作是一種不必要的財政負擔，不僅切斷了很多科研資助，而且還經常找外籍人員的麻煩。
歐拉只埋頭於自己的研究，並借宿在丹尼爾·伯努利的家中，與之一起工作。在這段時間裡，歐拉一直專注於研究物理，而非醫學。1733年，丹尼爾·伯努利無法忍受在科學院遭受到的種種麻煩與敵視，故回到瑞士在一學術崗位任職，當時年僅 26 歲的歐拉接替他成為了數學所所長。歐拉下定決心要儘量克服困難並安定下來，1734 年他結了婚並先後育有 13 個子女(僅有 5 個活到成年)，歐拉非常享受孩子們在身邊的生活，甚至一邊抱著孩子，一邊撰寫論文，真是在任何情況下都能做研究的一位數學家！
在 18 世紀 30 年代期間，歐拉著作頗豐，他不僅在數論上取得了實質性的進展，在級數求和、力學領域也頗有成效。期間，他還擔任俄國政府的科學顧問——為政府測繪地圖，為俄羅斯海軍提供建議，消防設備的設計審定，併為俄羅斯的學校編撰教科書。
歐拉終其一生致力於數論的研究。1729年12月，他收到了同事克里斯蒂安·哥德巴赫(Christian Goldbach)的來信，其最有名的就是尚未證實的哥德巴赫猜想。哥德巴赫在來信中提出瞭如下猜想：任何大於 2 的偶數都可寫成兩個質數之和。例如：
哥德巴赫在信中還提到了費馬數，即形如這樣的數
例如，當 時，我們分別得到質數 。那麼所有這樣形式的數都是質數嗎？費馬猜想它們都是，並宣稱找到了一個生成質數的公式。但遺憾的是，歐拉在 1732年 就發現下一個數 是一個可以被 641 整除的十位數。自那以後，再無其它費馬數被證明是質數，因此費馬的這個猜想並不成立。
歐拉驚人的計算能力也是一個傳奇。傳說某天，歐拉的兩個學生試圖對一個複雜的收斂級數進行求和，但算到小數點後第 50 位上時兩人的計算結果出現了分歧，歐拉只通過心算便得到了做出了正確地判斷。歐拉諸如此類的驚人心算能力使法國數學家、物理學家弗朗索瓦·阿拉戈也不免為之驚呼：
“歐拉計算時顯得毫不費力,就像人在呼吸或者鷹在風中保持平衡一樣。”
歐拉麵臨的另一項挑戰是找到四個不同的數字，使任意二者之和都等於一個完全平方數。而歐拉成功地找到了它們，分別是：18530，38114，45986 和 65570，比如下面幾個示例：
在18世紀30年代，歐拉還研究無窮級數。例如，他對發散的調和級數產生了興趣。
如果我們只看該級數的前 n 項，會發現它們的總和接近 ln(n)——實際上，正如歐拉所證，隨著 n 變大，前 n 項之和與 ln(n) 的差越來越接近一個固定數，而這個奇妙的數如今被稱為歐拉-馬斯克若尼常數，它的值約為 0.5772...。但是我們對它的瞭解甚少，甚至不知道它是否是一個有理數。
另一個在當時難倒了許多數學家的問題是巴塞爾問題，即精確計算所有完全平方數的倒數的和，也就是如下級數之和：
歐拉早期的成就之一就是在他 28 歲(1735 年)就推導出了這個級數之和為 ，真正嚴密的證明在1741年發表。之後，他將計算推廣到求所有 4 次方數，6 次方數...直至 26 次方數的倒數之和，這為後來的黎曼 函數奠定了基礎。
接下來，讓我們看一個歐拉在 1735 年解決的趣味謎題：哥尼斯堡七橋問題。中世紀城市哥尼斯堡由四個區域構成，通過七座橋相連，問題是：一個步行者怎樣才能不重複、不遺漏地一次走完七座橋，最後回到出發點。歐拉將其轉化為一個幾何問題，通過對橋和陸地的連接點進行計數，證明了該走法不存在。
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▲ 哥尼斯堡七橋問題(圖自維基)
戈特弗裡德·萊布尼茨(Leibniz)就曾在 1679 年在給荷蘭物理學家、數學家惠更斯(Christiaan Huygens)的信中提到，希望得到一種不涉及長度、距離和角度等度量概念的"位置分析"幾何方法，而歐拉就是找到這樣一種方法來解決“七橋問題”。現在，我們將其稱為“拓撲學”或“橡皮幾何學”——如果我們在橡皮上繪製地圖並將其拉伸，就發生了類似的拓撲變換。
1736年，歐拉向維也納宮廷天文學家喬凡尼·馬裡諾尼(Giovanni Marinoni)寫了一封信，描述他對這個問題的看法：“雖然這個問題十分乏味，但在我看來，值得注意的是幾何、代數甚至計數法都不足以解決這個問題。鑑於此，我想知道它是否屬於曾讓萊布尼茨興趣盎然的位置幾何學範疇。因此，經過認真思考，我得到了一種簡單但完全成立的規則，藉助該規則可以快速解決所有這類‘一筆畫’問題。”
歐拉對哥尼斯堡七橋問題的解決方案被認為是對圖論的最早貢獻，如今，‘一筆畫’問題已可以通過觀察“節點”(代表陸地)和“邊”(代表橋樑)構成的網絡來解決了。但這並非由歐拉設計得到——用以表示這一謎題的網絡直至150年後才真正誕生。
同年，歐拉發表了《力學》(Mechanica)，這是他關於粒子動力學的第一篇論文。伴隨著他對剛體運動——包括剛體自由運動和定點運動的深入研究，他於1750年在這一領域取得了最顯著的成果。
通過選取一點作為座標原點，選取相對於慣量的主軸座標為體座標軸系，歐拉推導出了我們現在所說的“歐拉運動方程”；轉動慣量這個概念也來自歐拉。甚至在16年後，他還證明出剛體繞定點的任意有限轉動等價於繞過定點某一軸的轉動。這項工作大量地使用了微積分方程，這些方程的運用促進了微積分學的發展，而歐拉對此做出了很大貢獻。
大約在 18 世紀 30 年代末期，歐拉右眼失明。儘管他將其歸因於長期近距離進行地圖學工作導致的勞累過度，但不排除眼部感染的可能性。即便如此，病痛並未影響歐拉的學術生產力：他繼續撰寫有關聲學，音樂理論，造船，質數以及許多其它領域的論文。
▌在柏林時期
隨著歐拉名聲大噪，普魯士腓特烈大帝在 1741 年邀請他加入恢復活力的柏林科學院擔任數學部主任一職。歐拉考慮當時俄國的政治局勢仍不穩定，就接受了這一邀請，並在隨後在柏林渡過最多產 25 年時光。
起初，歐拉與腓特烈大帝相處融洽，甚至為他帶來從自己花園裡摘的草莓。但好景不長，特別是經過了德國和俄羅斯之間的七年戰爭之後，腓特烈大帝對科學院的運作越來越感興趣，但他們之間的關係開始降溫。
腓特烈大帝視自己為一個成熟有涵養、聰明非凡的人，歐拉在他的眼中就是一個鄉下小子。歐拉發現了腓特烈的自命不凡，更不用提其狹隘和無禮了——腓特烈甚至稱他為“我的獨眼巨人”。傳言說歐拉還曾因為其寡言受到了腓特烈的母親(即普魯士王太后)的詢問，他回答倒也十分直白，“太后，我剛從那樣一個國家(俄國)來，在那裡你要是說多話，就會被吊死”。顯然，王太后並不會被他的回覆逗樂。
即便如此，歐拉仍恪盡職守、孜孜不倦地在各個領域探索，在 18 世紀 40 年代到 50 年代間，他完成了有關潮汐理論、月球運動、流體力學(河流運動)和絃振動的論文。
▲ 1748 歐拉出版的《無窮小分析引論》
他當時最重要的著作是《無窮小分析引論》(Introductio in Analysin Infinitorum)。正是在此書中，他介紹了自己對數字 的一些早期研究成果：將 定義為階乘倒數之無窮級數的和:
可計算出 ，以及與之相關的指數函數 的表示形式。
在引論中，歐拉將一些人們熟知的函數寫作無窮級數的形式。他認為，任何一個函數(例如 )都可以展開為 的冪次數列。在當時，牛頓、萊布尼茨和其他數學家已經對以下展開式非常熟悉：
以及三角函數的展開結果，例如：
歐拉在此書中還留下了數學史上濃墨重彩的一筆。起初，三角函數正弦和餘弦與指數函數 似乎並沒有共同點，但如果我們引入複數
，並對冪級數進行處理，便可以得到將它們聯繫起來的基本公式——歐拉公式：
從中我們推導出，當 時，就有 。
▲ 圖自[遇見]《圖解高數海報》, 介紹請見這裡
這是一個將數學中最偉大的 5 個常數都包含在內的方程，後被物理學家理查德·費曼稱為“歐拉的寶石”。
引論中還說到了許多有趣的事情。自笛卡爾提出將幾何與代數相結合之後的百年間，數學研究方法逐漸從幾何學過渡到代數學，並在當歐拉用代數方程，而不是圓錐截面，真正地定義了圓錐曲線(包括橢圓、拋物線和雙曲線)時，代數學的應用達到了高潮。
他先向我們展示了這一等式： 接著說明了這條公式的幾何含義：如果 是負數，我們將得到一個橢圓；如果 ，則會出現一條拋物線；如果 是正數，則是一條雙曲線。然後，他將整個論證過程擴展到三維的二次曲面上，並對一共出現的 7 種情形進行代數研究，在此過程中他發現了雙曲拋物面。
引論中另一個有趣的話題就是“整數分拆”(Integer partition)。如萊布尼茨致伯努利的信中所述，將一個正整數表示為若干個正整數的和共有幾種方案？
令 表示無序拆分的方案個數——例如 ，對應於下面五種拆分方案： 。
由此，我們可以繪製一個數值表，但是如何得到 的劃分數為3972999029388呢？
為了找到 的值，我們不如使用歐拉在引論中所用的五邊形數定理，通過迭代得出 ：
直到現在，這仍是得到 最有效的方法。
在引論中有所記載，關於“整數分拆”有一個奇妙的結論。當拆分成的數都是奇數時，例如在這樣情況下，整數 9 有八種拆分方案：
當拆分成完全不同的數時，同樣是 9，也恰好有八種拆分方案：
歐拉運用“母函數”(Generating function)證明，對於任何數字，拆分成的數都是奇數的方案數，等於拆分成完全不同的數的方案數，這是一個有趣且意想不到的結論。
在歐拉於1750年致哥德巴赫的一封信中，他提及了當時的另一個研究領域。他一直在觀察立方體及稜柱之類的簡單多面體，並發現簡單多面體的頂點數(V)、面數(F)、邊數(E)之間始終存在一個關係式：
▲ [遇見] 2020數學臺歷(介紹請點擊這裡)
例如，上圖的正六面體有 6 個面，8 個頂點和 12 條稜，則有 6 + 8 = 12 + 2，這一關係對於任何以平面為邊界的實體都成立。這一定理曾被誤認為是笛卡爾發現的，但後來人們並未找到笛卡爾為了推導出它使用的術語和動機：實際上，是歐拉引入了邊的概念。但是，歐拉的證明不夠完整——40年後，代數學家和數論學家勒讓德(Legendre)給出了完整的證明。
歐拉最受歡迎的暢銷書是《致一位德國公主的信》(Letters to a German Princess)。歐拉一直是一位思路清晰的寫作者，這是當他應邀為安哈爾特·德紹公主函授基礎科學課程時撰寫的一系列傑作。這卷書囊括了200多封歐拉的書信，與科學相關的話題論及重力、天文學、光、聲音、磁、邏輯學等方面。他寫了為什麼天空是藍色的，為什麼月亮升起時看起來更大，為什麼山頂寒冷(甚至在熱帶地區也是如此)，以及“人與動物的導電”等等。此書堪稱有史以來最好的科普書之一。
▲ 1769年版《致一位德國公主的信》第一卷封面(圖自維基)
1755年，歐拉完成了他在柏林創作的最後一本關於微積分學的鉅著《微積分概論》。這本書包含了所有最新的研究成果，其中很多理論的誕生都要歸功於歐拉。書中根據函數的基本概念介紹了微積分——毋庸置疑，正是歐拉引入了函數的記法 。除此之外，他還引入了 (求和符號)，(-1的平方根)和 (自然對數的底數)等符號，儘管“”最初由威廉·瓊斯(William Jones)於 1706 年提出，但卻是經過歐拉的倡導才得以廣泛流行。1768 年至 1770 年間，他在微分研究的基礎上繼續深入，發表了三冊有關微積分的論文。
▌重返聖彼得堡
1766 年，59 歲的歐拉應葉卡捷琳娜二世之邀回到聖彼得堡，在經歷了與腓特烈大帝相處的諸多不快後，這一邀請令他備感寬慰。多虧了開明的女皇，聖彼得堡的情況大有好轉，歐拉在那裡也得到了皇室規格的招待。他繼續滿懷熱情地工作，很快就在純粹幾何學上獲得了可喜的成果：在任意三角形中，都有三個特定點。第一個是垂心——從三角形的各個頂點向其對邊所作的三條垂線的交點；第二個是重心——三角形的三條中線的交點；第三個是外心——三角形外接圓的圓心。通過座標計算，歐拉證得了一個相當漂亮的結論：這三個點始終位於一條直線上(後人稱之為三角形的歐拉線)，並且重心恰好位於另外兩點距離的三分之一處。
▲ 圖左上表示從頂點到對邊中點的三條線相交於形心；圖左二表示從頂點到對邊的三條垂線相交於垂心；圖右上表示三角形的外接圓和外心；圖下方表示三點位於一條直線，形心位於另外兩點間距離的三分之一處。
歐拉對數論的興趣一直延續到他的晚年，當時他對一些與費馬相關的結論，特別是費馬大定理進行了推論。
眾所周知，存在滿足 的正數 。例如，
但費馬在丟番圖《算術》(Arithmetica)一書的頁邊空白處記錄瞭如下猜想：對任意大於 2 的指數 n，不存在滿足 的正數 。歐拉在其 1770 年發表的數論書中證明，兩個立方數之和不可能等於另一個立方數( )，兩個四次方數之和不可能等於另一個四次方數( )。費馬大定理直到 1995 年才由英國數學家安德魯·懷爾斯(Andrew John Wiles)得以徹底地證明。
歐拉與費馬的另一聯繫是費馬小定理，該定理指出，如果a是不能被給定質數 整除的任何整數，則 必能被 整除；例如，設 ，可推出 能被 29 整除。1760年，歐拉將這一結論擴展到質數以外的數字，引入歐拉 函數，證明了對於如果整數 和 互質， 總能被 整除。
數論中的又一結論涉及完全數(Perfect number，又稱完美數、完備數)，即一個數所有的真因子的和等於它本身。例如，6 是一個完全數，因為它的真因子是 1、2、3，它們的總和為 6；同樣，28 也是一個完全數，因為它等於其真因子 1、2、4、7 和 14 的總和。
歐幾里得在他的《幾何原本》中證明，只要第二項 是質數，則形如 的每個數都是完全數。
此事實的充分性由歐幾里得證明，而必要性則由歐拉所證明。
歐拉一生的最後幾年雖然比他以往的生活更加安寧，但卻充滿了接踵而來的不幸。1771 年，歐拉的住宅被燒燬，書房化為灰燼，而他自己也差點喪命，但幸運的是，他的手稿得以保存了下來。沒多久，他的愛妻去世，而他也再婚了。最終，歐拉幾乎完全失明瞭——但當他在石板上奮筆疾書，他的兩個兒子做筆錄時，他表現出的生產力絲毫不減。
在 1725 年的一本趣味數學書中，法國數學家雅克·奧扎南(Jacques Ozanam)提出了排列 16 張宮廷牌，使每行每列都包含各種花色和各種數值及 J，Q，K，A 的方法，如下是幾種排列方法。
▲ 4×4 正交拉丁方陣
用 25 張牌(包括 5 種花色和 5 種數值)也可以進行相似的排列。
▲ 5×5 正交拉丁方陣
那麼，當牌數增加到 36 張時的排列呢？歐拉在他去世的前一年，在關於幻方(他的又一興趣)的論文中，提出了“36 軍官問題”(Thirty-six officers problem)：
按方陣排列36名軍官，由6個不同的軍團各選6種不同軍階的6名軍官組成，如何使得各行各列都有來自每種軍階的一名軍官和來自每個軍團的一名軍官？
歐拉認為不存在符合要求的編排方法，而加斯頓·塔裡(Gaston Tarry)在 1900 年左右通過列舉所有的可能性終於證實了這一猜測。歐拉還稱，對於任意軍團數和軍階數(除該數為 4n+2，即 6,10,14,18...時)，相應問題都存在解決方案。儘管歐拉方陣猜想直到 1960 年左右(即近 300 年後)才得到證明，但他的猜想只在該數為 6 時成立，其餘情況都不成立。
▌巨星隕落
歐拉直到生命的最後一刻還在孜孜不倦地工作。孔多塞侯爵的悼詞將我們帶回他的最後一個下午：1783年9月7日，他在一塊石板上計算出氣球上升定律後(後來這一新發現在整個歐洲引起了轟動)，與萊克塞爾先生及其家人共進晚餐，談論著赫歇爾行星(天王星)以及確定其軌道的計算。沒過多久，他叫來了他的外孫，一邊喝茶，一邊與之玩耍，突然間，菸斗從他手中掉了下來，他停止了計算和呼吸。
1707 - 1783，歐拉時代最終還是落下了帷幕。(完)
參考資料:
·蔡天新, 《難以企及的人物 - 數學天空的群星閃耀》
·Robin Wilson, https://dwz.cn/4iIp45gy
·維基百科
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