哪些題目可以使用“以實代虛”的解題方法？學完這兩節課就會掌握。
大家好我是小梁老師，這兩節課主要學習“以實代虛”這個方法去解決一些特殊的數學問題。
數學本身就有它特殊的抽象性，而有些數學題目，比如附加題或是競賽題中出現的好多題目往往更加抽象。例如，有的題目看上去好像數據不齊全，有的甚至連一個具體數據也不出現，卻要我們去計算它，可真是有些難為同學們了。
怎樣解答這類抽象的問題呢?就通過“以實代虛”的巧妙方法，這種方法非常適合我們小學生理解和掌握。
【例1】一種商品，去年底價格提高10％，最近又降低了10％。問，現在的價格比去年提價前增加了還是減少了?
解題分析：這個題目學完百分數後常常出現，有少數同學讀了題目後，以為“先提高10％”，後來又“降低10％”，一定會“回到”原來的價格上來。其實完全不是這麼回事。我們不妨假定這種商品“原價為100元”(也可以假定為其他數，但假定為整百的數便於推算)，提價10％後則為110(100+100×10％)元，再降價10％，則得到99(110－110×10％)元。把原題中沒有給出的價格進行具體化，解題過程瞬間簡單。
答：現在的價格比提價前減少了。
請你重新假定一個數據再推算一遍，看看價格是不是同樣減少了？若改問：“現在的價格相當於提價前的百分之幾?“你能算出來嗎?不妨試一下。
【例2】齊明叔叔開拖拉機到縣城購買化肥，去時空車，平均每小時行30千米；回來時滿載化肥，平均每小時行20千米。求他往返的平均速度是多少?
解題分析：有的同學列式為：(30+20)÷2＝25(千米/小時)，顯然是錯誤的。因為這樣求得的是速度的平均數，而不是平均速度。
一般來說求平均速度需要有兩個最基本的條件:一是總路程，二是總時間。這又偏偏是本題都沒有的。怎麼辦呢?我們不妨假定齊明叔叔從鄉下到縣城的路程為60千米(也可假定為其他數，但最好取30和20的公倍數，或60、或120、或180等，這樣會給整個推算帶來方便)。
注意:往返所走的總路程是兩個60千米。
由此推算往返的平均速度就不困難了：
1.進城所花的時間:
60÷30＝2(小時)
2.返回所花的時間:
60÷20＝3(小時)
3.往返的平均速度
60×2÷(2+3)
=120÷5
24(千米/小時)
答:齊明叔叔往返的平均速度是每小時行24千米。
【例3】同樣加工某一個機器零件，小王叔叔所用的時間比小張叔叔少1/4。那麼，小王叔叔的工效比小張叔叔高百分之幾?
解題分析：這也是一個比較抽象的題目，但採用假定具體數據的辦法來化“虛”為“實”，就不感到困難了。我們假定小張叔叔加工這個零件需要4分鐘，那麼，小王叔叔加工這個零件則只需要3分鐘(比小張叔叔少1/4)。由此計算出他們在1小時裡各能加工出多少個零件，這就是他們各自的工效，計算過程如下：
1.小王叔叔一小時加工多少個零件？
60÷3＝20(個)
2.小張叔叔一小時加工多少個零件？
60÷4＝15(個)
3.小王叔叔的工效比小張叔叔高百分之幾?
(20-15)÷15
＝5÷15
≈33.3％
【例4】在3.8和4.4之間寫出三個數，使這五個數一個比一個大，而且相鄰的兩個數的差都相等。寫出的這三個數分別是多少?
解題分析：在數學的眾多試題中，這雖然算不上是一道特別難的難題，但不少同學在分析解答這道題目時，往往因為方法不當而走了許多彎路。解答這道題目的最巧妙方法是在數軸上填答案，這樣就十分具體、直觀了。作圖如下：
因為3.8、4.4及後來所填的三個數，它們“每相鄰的兩個數的差都相等”，所以它們在數軸上的分佈是均勻的。從數軸上可以清楚地看出，所填的第②個數正好在3.8和4.4的正中間。這個數為：
(3.8+4.4)÷2
＝8.2÷2
＝4.1
同樣道理，第一個數和第三個數分別為：
(3.8+4.1)÷2
=7.9÷2
=3.95
(4.1+4.4)÷2
＝8.5÷2
＝4.25
答：寫出的三個數依次是3.95、4.1和4.25。
【例5】在線段AB上有C、D兩點，已知：AC:AD＝2:3；CD：CB＝1:4；又知E為AD的中點，F為CB的中點。如果EF相距5釐米，那麼，AB長多少釐米?
解題分析：這道題目的條件十分複雜，就這麼看幾遍，誰也“理”不清它們的種種聯繫。要想全面準確地掌握數量關係，必須通過作示意圖來分析它。
作圖時，先畫出一小段表示AC，根據題目中的第一個條件：AC:AD＝2:3，就應將AC平均分為“2份”，再把AC延長出“1份”到D；然後又根據CD:CB＝1:4，把線段延伸到B(見下圖)。
最後在這幅圖上標出AD的中點E和CB的中點(見下圖)。
這時我們從圖上又十分清楚地看出EF恰好佔二格半。由此求AB的全長就太容易了：
5÷5/2×6＝12釐米
答：AB全長12釐米。
這節課的內容就到這裡，其他沒有講完的部分我們下節課繼續學習。
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