角平分線的解析化處理——2019年連雲港中考數學第26題
幾何條件的解析處理，是在函數壓軸題中數形結合的方向之一，在題目條件中出現角平分線，通常能聯想起來的有兩個角相等、角平分線上的點到角兩邊的距離相等，而兩個角相等，進一步可聯想到構造全等或相似三角形，到角兩邊距離相等，也可聯想到構造全等三角形，以上這些屬於常規常法，在此基礎上做拓展，則可聯繫到一次函數解析式、兩函數交點座標等解析問題，而找到正確解題思路的關鍵，則是對角平分線的解析化處理。
題目
解析：
(1)給出點A橫座標，且點A在拋物線L2上，可求得它的座標為(2,-3)，拋物線L1經過點C(0,-3)，則解析式中參數c=-3，再將點A座標代入，可求剩下一個參數b=-2，於是拋物線L1解析式為y=x²-2x-3；
(2)典型的平行四邊形存在性探索，基本思路是四個點中，A、C已知，以線段AC為基礎，分兩種情況，一是以AC為邊，二是以AC為對角線。剩下兩個動點P和Q，採取設其中一個，表示另一個的方法，設P(m,m²-2m-3)。
第一種情況：以AC為邊
接下來表示點Q座標時，面臨一個新的問題，點Q在點P的左側還是右側？又需要分類討論：
①點Q在點P右側，由平行四邊形性質PQ∥AC，則點Q縱座標與點P相同，於是Q(m+2,m²-2m-3)，代入L2中，得m²-2m-3=-1/2(m+2)²-3/2(m+2)+2，解得m1=0(舍)，m2=-1，因此點P座標為(-1，0)；
②點Q在點P左側，因此Q(m-2,m²-2m-3)，代入L2中，得m²-2m-3=-1/2(m-2)²-3/2(m-2)+2，解得m1=-4/3，m2=3，因此點P座標為(-4/3,13/9）或(3,0)；
第二種情況：以AC為對角線
由平行四邊形對角線互相平分，先求得AC中點座標為(1,-3)，根據中點公式，表示出Q(2-m,-m²+2m-3)，代入L2中，得-m²+2m-3=-1/2(2-m)²-3/2(2-m)+2，解得m1=0(舍)，m2=-3，因此點P座標為(-3,12)；
綜上所述，點P座標有四個，分別為(-1,0)，(-4/3,13/9)，(3,0)，(3,12)；
(3)AC平分∠PCR，進行軸對稱處理，即作點P關於AC的對稱點P'，然後求出CP'的解析式，它與拋物線L1的交點為R，表示出R座標之後，再求PR的解析式，隱隱感覺到直線PR的斜率應該是一個定值，否則無從去求點Q座標，因為從題目所求結論來看，既然要求Q座標，則直線OQ應該相對固定。基於以上猜測，先寫出P'座標為(m,-m²+2m-3)，然後求出CP'解析式為y=(2-m)x-3，與拋物線L1聯立得方程(2-m)x-3=x²-2x-3，解得x1=0，x2=4-m，於是點R座標可求，為(4-m,m²-6m+5)，再設PR解析式為y=kx+b，只需要求出k即可，果不其然，k=2，因此直線OQ解析式為y=2x，再聯立它與拋物線L2便能求出點Q座標，有兩個，分別為(（-7+√65)/2，-7+√65)和((-7-√65)/2，-7-√65)。
解題反思
在對角平分線進行解析化處理的時候，側重於代數解析法，對於學生的計算基本功有較高要求，同時對於參考答案中的幾何法，也有一定啟發作用，利用角平分線構造相似三角形，也是較為簡單的處理方法。但無論解析法或幾何法，歸根到底要還原到函數解析式中，此時的計算量很難說孰多孰少，只要最終能通向羅馬，那麼任何一道路都是可以的。
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