導 讀

也不知道P值是招誰惹誰了，反正大家都喜歡拿他開刷！老早就有一篇爭議挺大的公眾號文章說「P值已死」，立馬就有人反駁「別鬧了，P值沒死」。其實， Nature雜誌在14年2月份時就刊發了一篇文章，對統計效度的金標準「P值」提出了質疑，認為P值並沒有統計學家所認為的那樣可信。

我們暫且把這個問題擱置一下，替P值君問一句：「為什麼受傷的總是我呀？是我是我還是我」真要說起個問題，咱們得從統計學的框架說起。

現代統計學的框架

現代統計學兩分天下：一分統計描述，一分統計推斷。

統計書上經常這樣表述：

統計描述和統計推斷是現代統計學的兩個組成部分，兩者相輔相成、缺一不可，統計描述是現代統計學的基礎和前提，統計推斷是現代統計學的核心和關鍵。

統計描述就是給數據拍張快照唄，看看他們長什麼樣子。我們熟知的均數、中位數就是用來看他們扎堆的位置，紮在什麼地方；標準差、四分位數間距等就是用來看他們扎堆的程度，扎得有多緊。當然我們也可以用直方圖，箱線圖，散點圖等統計圖形來更為形象直觀的查看。

統計推斷是用我們手中的樣本數據來推斷其背後的總體特徵。

統計推斷裡有兩大塊內容：參數估計和假設檢驗。

參數估計

就是我們用樣本的統計量（如樣本均數）去估計總體的參數（如總體均數）。此時，我們可以有兩種策略：一種是簡單了事，直接把樣本統計量當做總體參數，這就是所謂的點估計；另外一種策略就是考慮到抽樣誤差，我們用一個範圍，而不是一個單一的值去估計總體參數，此即所謂的區間估計。而假設檢驗則是利用小概率反正法思想，從問題的對立面（H0，原假設）出發，假定H0成立的條件下，去計算檢驗統計量，獲得P值，再通過P值來在H0，H1（備擇假設）之間做進一步取捨。

既然統計推斷是現代統計學的核心和關鍵，看到這裡，你也能體會到作為假設檢驗的黃金判定標準的P值，在統計學中的地位啦。那具體而言，什麼是P值呢？

P值和假設檢驗

什麼是P值呢？按照頻率學派的經典套路：

• 敷衍的人會告訴你：「P值啊，就是P Value，Probability Value，就是概率啊」聽完我們想揍死他，你還別笑，有些統計培訓班還真這麼講的
• 老實本分的老師會告訴你： 「P值啊，就是在H0為真的條件下，獲得當前樣本或者更偏的樣本的概率」。聽完我們很迷茫啊，看著我們迷茫的眼神，老師無奈的寫下「P=Prob(X|H0)」，我們只好無奈且善意的點點頭
• 少有的明白人會告訴你：「P值啊，就是在H0為真時，觀察到的差異來源於抽樣誤差的可能性大小」

P值就是在H0為真時，觀察到的差異來源於抽樣誤差的可能性大小。聽完這個解釋，或許我們眼前能閃現一絲靈光。我們以正態分佈的Z檢驗為例簡要說明下，不知道不理解為什麼那麼多的統計教材竟然要以t檢驗為例來講假設檢驗。如果你被他們毒害了，不知道什麼是Z檢驗，請看如下公式：

看不懂？不著急。一步一步來。依據「P值就是在H0為真時，觀察到的差異來源於抽樣誤差的可能性的大小」這一定義，我們假定H0為真，也就是假定樣本均數「X Bar」(即X頭上抬根槓，微信編輯器什麼時候能插入公式啊,只好擬音啦) 就等於總體均數「miu」（擬音），但是實際上，我們利用手中的樣本數據計算的均數 「X Bar」和總體均數「miu」總是有差異的，這個差異就是公式中的分子，但是這個差異缺乏一個統一的度量，於是 我們除以一個 總體的變異幅度（暫且用標準誤代替，也就是上圖中的分母）， 這樣就得到一個以總體變異幅度來度量的差異，也就是說這個差異是多個標準誤，或者說差了多少個標準誤的距離，這個就是我們所說的統計量，Z值。現在在看看Z檢驗的公式，是否好容易理解多了？ 統計量Z值其實就是樣本均數和總體均數相差的，以標準誤度量的單位量。

那麼P值呢？別急。每一個Z值可以對應到一個相應的P值，比如，Z=1.96表示 差了1.96倍標準誤的距離，對應的P 值就是0.05。

但是不同的分佈，統計量不同，因此難以標化統一，不過P 值卻可以，而且在實際操作中，由於計算機統計軟件包的發展，P值也很容易獲得。 獲得P值後，比如，比如啊，P=0.003，我們可以回過頭來想：既然我們已經假定H0為真了，也就是（「X Bar」-「miu」）應該沒有差異了，但是現在還有Z倍標準誤的差異啊！ 那現在這個差異是哪裡來的呢？只有一個可能的原因：抽樣誤差。但是現在可以歸因於抽樣誤差的概率很小，只有0.003啊（統計軟件計算結果），0.003的概率，1000次也才3次，竟然一次就讓我們趕上了，這不太可能吧？是的，確實不太可能。那我們就只能回過頭來懷疑我們的根基，我們的原假設H0錯了，因此我們否定H0， 接受H1。

這才是我們的假設檢驗。這才是我們的P值。既然P值是假定H0為真的條件下，我們所觀察到的差異來源於抽樣誤差的概率。這很容易讓我們想到，如果H0真的為真，我們因P值<=0.05而拒絕了真實的H0時，我們會犯下I類錯誤，也就是棄真錯誤，也即假陽性，這是這個錯誤的概率是不是就是P呀？「就是啊」，一些統計培訓師就是這麼認為的。若果你認真問起來，他們或許就含含糊糊，說不清了。

I類錯誤的概率是不是P值呢？To P or not to P, that's a question。 要說起清楚這個問題，還得勞神費心談談假設檢驗的前世今生。

其實，「前世今生」系列的文章我已經看到過好幾篇了，比如「正太分佈的前世今生」、「Meta分析的前世今生」。不知為何，我個人也很喜歡「前世今生」這個詞。今天呢，就聊一聊我知道的一點「假設檢驗的前世今生」吧。

假設檢驗是統計學裡最重要、最基礎的的概念，即便是不知道，不瞭解這個術語，與統計學毫不相干的人，在日常生活中，也不知不覺地應用了假設檢驗。比如，我們在街上水果攤閒逛買橘子。

甜的時候，我們的思維過程：

不甜的時候，我們的思維過程：

當然，以上只是個簡單類比，不必細究。不過，相比一些翻譯教材喜歡用老外的「法官定罪」的例子來說，這個場景應該更容易為國人所理解。

現行的假設檢驗，叫原假設顯著性檢驗( Null Hypothesis Significance Testing，NHST)。其基本思路和框架在現行的統計教材中論述較多，在此僅簡要概括：

1. 建立假設，確定檢驗水平。假設包括兩種，一種稱為原假設、無效假設、零假設（Null Hypothesis，H0）；另一種稱為備則假設（Alternative hypothesis, H1），H1是H0的對立面。原假設H0通常是「別擔心，啥事也沒有」，比如沒有差異，沒有療效等。H1 則是「有情況，要留意啊」，比如有差異，有療效。檢驗水平alpha，又稱顯著性水平，這個是預先規定遊戲標杆，通常為0.05。
2. 計算檢驗統計量，計算P值。我們認為手頭已有的數據是從H0 為真的總體中的一個抽樣，但是這個可能性是多少？這需要計算評估。如何計算評估呢？我們可以計算檢驗統計量，不過不同的問題，計算的檢驗統計量不同，如Z值，t值，F值，X2值，這樣豈不是比較亂？是的，所以把那些統計量統統對應到P值，統一用P值來解決。
3. 做出統計推斷結論。比較P值及alpha值，如果 P<=alpha, 拒絕H0,差異顯著，有統計學意義；反之，如果P>alpha, 不拒絕H0,差異不顯著，無統計學意義。

不太想了解假設檢驗的具體流程和細節的，只要記住一條簡單粗暴的黃金口訣：If P is low, H0 must go!

以上這一套流程，看起來好像是流暢統一的整體，然而，統計教材沒有說明的是，這其實是一道大拌菜，是統計學家Karl Pearson的「擬合優度檢驗」，Ronald A Fisher的 「顯著性檢驗 」和 Jerzy Neyman，Egon Pearson的N-P「假設檢驗」的大雜燴。

故事的關鍵點大概是這樣的：

Karl Pearson的「擬合優度檢驗」

部分文獻以為P值是Fisher發明的，但其實最先提出P值的是Karl Pearson。Karl Pearson在其1900年的論文中提出了擬合優度的卡方檢驗，這其中就包括P值。但是給出了P值的在各種情形下的計算方法的卻是Karl Pearson的死對頭，Ronald A Fisher。應該說，Karl Pearson的提出了「P值 」，Ronald A Fisher 將「P值 」發揚光大。 而1925年Ronald A Fisher的 經典著作《Statistical Methods for Research Workers》騰空出世奠定了其現代統計學之父的威名。

Karl Pearson

Ronald A Fisher的 「顯著性檢驗 」

1925年，Fisher提出了其顯著性檢驗的思想。Fisher的顯著性檢驗可大概概括為以下5個步驟：

1. 選擇合適的檢驗，如卡方檢驗，t檢驗
2. 建立原假設H0
3. 假定H0的條件下計算理論的P值
4. 評估結果是否有統計學顯著
5. 對結果的統計學顯著性進行解釋

Ronald A Fisher

N-P的「假設檢驗」

1928年，Jerzy Neyman和Karl Pearson 的兒子 Egon Pearson提出了「假設檢驗」，「假設檢驗」思想可大概概括為以下8個步驟：

1. 設立人群中期望的效應值
2. 選擇合適的檢驗
3. 建立主假設Hm
4. 建立備則假設Ha
5. 計算為達到良好的把握度所需的樣本量
6. 計算檢驗的臨界值，確定拒絕域
7. 計算研究的檢驗值（老實說，這條我也沒理解）
8. 做出支持Hm或者Ha的決策

Egon Pearson，Jerzy Neyman

簡單來看，Ronald A Fisher的 「顯著性檢驗 」是沒有備則假設的，而N-P的「假設檢驗」不僅有備則假設，還有一個主假設Hm(與H0類似)，不僅如此，N-P的「假設檢驗」還提出了效應值、把握度，I類、II類錯誤的概念，且採用拒絕域而非P值來做決策。

除了以上形式上的差別，Ronald A Fisher的 「顯著性檢驗 」與N-P的「假設檢驗」在深層次的統計哲學上也不同。

• Fisher的統計模型的方法論基礎是假想無限總體，現有資料可視為是從中抽取的一個隨機樣本。而N-P則是假想無限抽樣。N-P 「假設檢驗」 的要旨為在限制第一類錯誤的概率不超過顯著性水平 α 的條件下， 謀求第二類錯誤的概率最小化。雖不期望知曉每個獨立的假設是真是假， 但仍可研究指導我們與之相關行為的準則， 以便保證在長遠意義上不至錯得太多。
• Fisher認為統計學的功用是“歸納推論” ( inductive inference) ， 而不是做“歸納行動” ( inductive behavior) ; 統計學應當止於歸納結論， 而不涉足行動判斷。顯著性檢驗不能給出針對現實的判斷， 而只能改變研究者對事實的態度。而在 N-P 看來， 沒有任何一種統計推論思想能夠不涉及決策過程。他們直接繞過假設檢驗作為科學推論的適合性的討論， 而將它作為一種決策方法， 在先行給出決策前提( 控制第一類錯誤、 然後追求功效最大化) 的前提下， 進行數學上的最優化論證( 錯誤率最低) 。這種思維方式對實際研究者顯然是很有“實際優勢” 的， 因為這正符合了他們使用假設檢驗的最初目的和最終期待

原假設顯著性檢驗，NHST

1940年，Lindquist首次對Ronald A Fisher的 「顯著性檢驗 」和N-P的「假設檢驗」進行了糅合， 提出了原假設顯著性檢驗（Null Hypothesis Significance Testing， NHST）。

NHST 的基本雜合方式是:

1. 採用 N-P 的原假設對備擇假設 的假設形式( H0 vs H1) ， 而備擇假設卻是 Fisher 沒有使用並且一直反對引入的
2. 同時採用 P值( Fisher 的判斷依據) 和拒絕域法( N-P 的判斷依據) ， 認為兩者的判定效果是等價的， 但 Fisher 本人卻極其反對拒絕域法， 而 N-P 則並不強調P值的作用
3. 把檢驗功效 和兩類錯誤作為 NHST 的內在內容加以介紹， 而不提及這只是 N-P 的觀點， Fisher本人是反對這些概念的。

至此，這就是我們統計教科書裡看到的假設檢驗了。NHST自其誕生以來就飽受質疑和批判，後世的統計學家也一直在呼籲用置信區間，貝葉斯統計來取代NHSTH這種統計推論方式。更多批判NHST的文章和更深層的討論，好像已經超出我的能力範圍了。

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