0.9循環就是0.999······後面跟無窮多個9。簡記為0.9，“9”上面加一點。初中的時候曾疑惑過，
後來想過一個方法，算是理解了這個問題，通過歸納：
因為
所以直觀上自然有
一家人就是應該整整齊齊嘛！
當然，這個問題也問過老師，老師肯定了兩個數相等，並證明如下：
這個證明很有啟發性，不僅解決了我的問題，還教會了我怎樣將任意一個無限循環小數轉化為分數。
比如：
言歸正傳。
後來等學了高等數學，從極限的角度來看，對這個問題認識地更深了。其實是一個無窮級數的求和問題：
雖然解決了問題，但是通過這樣一種無窮級數求和的迂迴手段，顯得不那麼直觀了。
直到學習了數學分析中的實數論，算是再一次直觀且深刻地認識了這個問題。
對於實數軸，有以下顯然易見地結論：
如果兩個數相等，那麼這兩個數在數軸上的位置重合，反之也成立。
這不是廢話嗎？分析一下，這看似廢話的一句話，其實也恰好是我們一開始錯覺的來源，0.9循環，應該在1的左邊，比1小那麼一點點，在數軸上，這個數和1的位置並不重合，所以看起來，這兩個數也就不相等了。
問題在哪兒呢？
回頭看看剛剛的結論，有一個詞的描述其實是非常文字式的、直覺式的，“位置重合”。現在來思考一下這個詞的數學內涵。位置重合，意味著兩個數在數軸上的距離為零。距離為零，也就意味著，兩個數之間不存在其他數。沒有第三個數插足！
如果兩個數相等，那麼這兩個數在數軸上，不存在中間數。反之也成立。
比如0.1和0.2，顯然不相等，為什麼呢？因為0.11，0.12，0.13，...這些0.1和0.2之間“插足者”們的存在，註定了0.1不可能等於0.2。再比如，0.0001和0也不想等，因為他們之間，還有0.000001，0.000002，....等等無限多個插足者。我們還能得到這樣一個很有內涵的結論，實數x和y只要存在一個插足者，那麼必然存在無限多個插足者。
回頭再看看，0.9循環和1，它們之間有插足者嗎？能找到一個比1小，但是又比0.9循環大的實數嗎？
我們從比1小的數當中來找，0.8，0.9，0.99，0.999，0.9999，0.999999...不論我們找一個什麼樣的數，只要小於1，那就都比0.9循環小。
0.9循環和1之間，不存在插足者。
所以0.9循環=1。
事實上，根據以上結論，任何一個有理數都能寫成無限循環小數的形式：先把分數化成小數，對有限小數，只要把末尾的數字減去1，然後後面添上無窮多個9就行了。
比如：
這樣來看，其實無限小數的“無限”，並不是什麼特別的性質。任何一個實數，無論有理數還是無理數，都能表示一個無限小數的形式。都能在實數軸上畫出來。對於有理數，不必區分是有限小數還是無限循環小數，因為所有有限小數都能表示成無限循環小數。而眾所周知，無理數就是無限不循環小數，所以有理數和無理數，其區別關鍵還在是否循環上。
總結：有理數=無限循環小數，無理數=無限不循環小數。
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