原題如下：
這是一個關於複數k的連乘。
首先，分析一下k。k是一個複數，是方程x^8-1=0的單位根。表達式中，k的冪次：k,k^2,k^3,...,k^7均位於單位圓上，間隔45°均勻分佈：
馬上可以知道，當m+n=8時，k^m與k^n關於實軸x軸對稱，互為共軛。也就是：
這是一個重大發現！想想高斯小朋友計算1+2+3+...+100=？的清奇思路，首尾相加等於常數101，這裡首尾相乘會出現常數1，心潮澎湃的你馬上就知道解題的第一步應該怎麼搞了：
令
中括號裡面複數虛部抵消，這樣每一項都是實數，然而，問題似乎並沒有變簡單，還是七個式子連乘，怎麼破？
這條路看起來時走不通了。換個思路。
分析一下表達式。表達式看起來像什麼？什麼式子中會出現連乘的表達呢？因式分解！！！如果能找到被因式分解的原表達式，而這個表達式計算起來又非常簡單，那這個問題也就解決了。
不妨一試。
注意到k是x^8-1=0的根，這是一個8次方程，在複數域上應該有8個根。顯然
所以k,k^2,k^3,...,k^7都是方程x^8-1=0的根。別忘了還有一個x=1(有人問，x=-1顯然也是根啊，怎麼沒有？怎麼沒有，在這兒：k^4=-1)
回憶一元二次方程基於根的因式分解，類似地，有下面的恆等式：
左邊，一個極其簡單的表達式，右邊，一個非常複雜的連乘形式。（插個題外話，上面的因式分解很有內涵，Kummer據此創建了理想數理論，直接證明了費馬大定理x^n+y^n=z^n無正整數解,對一大批n都成立)。
和原題比較一下，勝利在望~
令x=-3，得
右邊，提取8個（-1）以去掉負號，立得
柳暗花明又一村。
老美的數學競賽還是蠻簡單的，加上原題其實是選擇題，選項本身就是一種提示，能讓你從第一個思路的死衚衕裡飛出來。難怪聽朋友說，他參加州競賽，拿前三的基本都是亞裔黃種人。
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