注：本文內容來自泛函分析的基礎知識，如果已經對“距離空間”這一概念有所瞭解，那麼理解本文輕而易舉。
正文：
對於圓周率Pi，想必大部分人都不陌生，這個介於3到4之間的常數深入到了數學和物理各個方面，歐拉公式，高斯分佈，傅里葉變換，廣義相對論的場方程，測不準關係......關於π的公式定理不勝枚舉。
在十進制中，π≈3.14159...是一個無限不循環的小數，（強行轉折）但是，有沒有可能，在某種特殊的條件下，π可以取到其他值，甚至不必是一個無理數，比如3或4呢？
想回答上面的問題，需要弄明白π的跟腳。
數學上，π被定義為一個圓的周長與其直徑之比。這個定義清晰無比，涉及到三個概念，圓，周長，直徑。其中最根本的概念是“圓”，“周長”和"直徑"都是對“圓”的特徵描述。
那麼，什麼是“圓”？
圓...圓圓的...沒有角..能...滾起來的...太陽那樣的...瞳孔...大頭兒子....就是圓？
將生活中經驗的模糊的概念抽象為精確的數學概念，是數學家的基本素養。所謂圓，幾何上來看，就是到一個固定點的距離為常數的所有點的集合。
繼續挖掘。上面圓的概念中提到了距離，那麼我們還要弄明白所謂“距離”的跟腳。
一般來說，兩點之間的距離就是連接兩點的直線的長度，等等，那直線是什麼？長度是什麼？這樣下去問題沒完沒了，還可能陷入循環定義當中。所以，我們不從原始幾何的角度，而是從代數出發，建立平面座標系，兩個點之間的“距離”，就是根據勾股定理計算的下圖中直角三角形的斜邊長度
直角三角形是什麼？長度是什麼？上面的表述還沒有將“距離”的概念更好的抽象出來，依賴平面幾何中“直角”、“三角形”、“長度”等概念。事實上，根據表達式，完全可以將這些概念去掉，而保留最本質的東西：
所謂距離，就是從兩個二（多）元數組P1（x1,y1)、P2(x2,y2)到非負實數集合的一種映射，即
就是一個多元函數。在此意義下，所謂“圓”，就是到定點P0的距離d(P,P0)=r常數的所有點的集合。
現在搞清楚了，要嘗試圓周率Pi有沒有其他可能的取值，歸根結底就是要嘗試“距離”這一概念有沒有其他可能的定義。
數學不是無源水。生活中，“距離”確實有其他含義。地圖上，直線距離，步行距離，打車距離......街道距離。如下所示的街道，規定只能沿著灰色街道上下左右行走，那麼從左下角到右上角的“距離”，就不是圖中的綠線，而是紅線、或者藍線、或者黃線。他們都是最短的路徑。也就是，兩點之間的“距離”。
思考一下，這樣的“距離”合不合理呢？
我們對這樣的“距離”，同樣提取其本質，抽象出精確的數學概念：這個“距離”，也是從兩個二（多）元數組P1（x1,y1)、P2(x2,y2)到非負實數集合的一個映射，即
在此意義上，根據“圓”的定義，也就是到定點P0的距離d(P,P0)=r常數的所有點的集合，來定義新的“圓”。特別地，我們看“單位圓”，到原點（0，0）“距離”為1的“圓”：d(P,(0,0)）=1，也就是
|x|+|y|=1所表示的圖形：
新的距離定義下的“圓”
這，這是圓？？？小編，這明明是個正方形，哪裡像個“圓”？確實，這個“圓”反直覺，反生活，但在數學上完全沒有問題，定義清楚，邏輯自洽，這就是一個標準的（在某種“距離”定義下的）“圓”。
好了，我們現在可以計算"圓周率"了。這個"圓"的直徑是......等等，"直徑"是什麼？"圓"上關於"圓心"對稱的兩點之間的"距離"。容易證明，這個”圓“的直徑是定值2（還好是定值，不然就糟了）。再計算"周長"：勾股定理，秒算，4根號2。等等，這不是新的"距離"定義下的"周長"。這裡的"周長"，要用到新的"距離"概念。先計算四分之一"圓弧"的"長度"，也就是（0，1）到（1，0）之間的連線的”長度“。（0，1）到（1，0）之間的連線，在新的距離定義下，是一條”曲線“（想一想，WHY？)我們用類似的"以直代曲"計算曲線長度的方法，計算這條”曲線“的長度：
"以直代曲"
等於2。
於是"周長"等於4*2=8。
於是"圓周率"
π'=8/2=4
大功告成。
奇怪嗎？先不要管結論如何奇怪，小編碼這麼多字的目的，不是為了故弄玄虛，而是希望各位可以通過上面的過程，體會到數學的過程和方法、她的抽象性和邏輯性，以及如何思考和解決問題。
最後，留一個小問題，除了3.14159...和4，“圓周率”還可以取到其他值嗎？比如，3？
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