如題:
首先,需要解釋一下,數學中,出現指數的指數時,計算順序:指數越高越優先。例如:
先計算3^2=9,再計算4^9=262144。
Ok,回到正題。
一個經常被提到的解答方法是這樣的:
令
那麼,無窮再加一層,還是無窮,等於原來的數(∞+1=∞),得
“瞪眼法”,立得x=2和x=4。
一個表達式,怎麼會有兩個解呢?問題在哪兒?而且一個無窮嵌套的根號二次方,收斂嗎?不會越來越大麼?
以下是完整解答。
考慮如下數列:
那麼:
原問題就轉化為一個數列極限的問題。
要考察一個數列的極限,一般分兩步:
第一,確定極限是否存在;第二,計算極限。而第一步通常包括兩小步,“單調性+有界性”:
首先,數列的有界性:
顯然,a0,a1,a2,等等都小於2,假設對an-1,有an-1<2,那麼
數學歸納法,可知an<2恆成立,同理,用類似的數學歸納法,可知an≥1。於是
數列an有界。
第二,數列的單調性:作圖:
知
於是
單調性成立。數列an單調遞增。
綜上,an單調遞增有極限,設極限為x。根據遞推關係:
兩邊取極限,得
作圖:
得x=2或x=4。又1≤x≤2,知x=2。(雖然計算式一樣,出發點不一樣。一個是基於數列的極限,另一個則是基於“無窮+1=無窮”)
完畢。
留一個小問題:
當a處於什麼範圍的時候,上式左邊等於一個有限值?這個值是多少呢?
後續閱讀:
根號二的無限根號二次方,到底等於多少?後續:從一個方程出發
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