很多人認識集合，都是從高中數學教材開始，內容不難，但每年都是高考數學的必考內容，而且大部分時候還佔據整張試卷第1題的位置。在高考這麼重要的考試當中，“第1”這個位置並不是誰想坐就可以坐，它在一定程度上體現了這一塊知識內容在數學領域當中的重要性。
集合，看上去似乎並不太難的數學內容，為什麼會在數學王國當中佔據這麼重要的位置呢？我們先從古時期的數學說起，兩千多年以來，無數的數學家都直接或間接的接觸到“無窮”這一概念，但侷限於當時社會環境、知識背景等因素，讓當時的數學界無力去探索、把握、認識它，無奈止步於“無窮”的門口，在一定程度上也束縛了數學的發展。
現代人理解“無窮”這一概念已經變得簡單，但對於前人來說這就是一個天書，甚至會引發一系列的問題。如在17世紀時期，兩位偉大的數學家牛頓和萊布尼茲共同發現微積分這一重要知識內容，它一出現，就馬上促進數學的快速發展，許多以往難以解決的疑難問題，運用微積分後就變得輕而易舉。不過，令人遺憾的是不管牛頓還是萊布尼茲所創立的微積分理論，都是建立在無窮小分析之上，但他們對作為基本概念的無窮小量的理解與運用卻是非常混亂，不夠嚴格，這樣也使微積分誕生時就遭到了一些數學家的反對與攻擊，甚至引發了第二次數學危機。
因此，如何解決“無窮”這一問題，已經不是數學界的事情，更是向全人類文明進程提出了尖銳的挑戰。隨著無數的數學家和科學家的不斷努力，直到十九世紀七八十年代，一位名叫康托爾的德國數學家，打開了“無窮”的大門。
康托爾是一位著名的德國數學家，他結合前任的數學成果，如由於分析的嚴格化和函數論的發展，數學家們提出了一系列重要問題，並對無理數理論、不連續函數理論進行認真考察，這方面的研究成果為康托爾後來的工作奠定了必要的思想基礎。加上康托爾具有獨特的思維，想象力非常豐富，解決問題方法也非常新穎，創立了集合論和超窮數理論這樣非常重要的人類智慧成果，讓當時整個數學界，甚至哲學界都感到非常的震撼。
在1900年的國際數學家大會上，法國著名數學家龐加萊就非常興奮地宣稱：藉助集合論概念，我們可以建造整個數學大廈，可以說絕對的嚴格性已經達到了。
康托爾是誰？
康托爾全名是格奧爾格·康托爾，他是一位著名的德國數學家，但他出生於俄國列寧格勒（今俄羅斯聖彼得堡），父親是猶太血統的丹麥商人，母親出身藝術世家。在1856年，康托爾全家遷居德國的法蘭克福，他這一生最大偉大的成就便是創立了集合論和超窮數理論。
那麼康托爾是如何創立集合論呢？
康托爾一開始並不是特意去解決“無窮”這一未知領域而去創立集合論，而是在尋找函數展開為三角級數表示的唯一性判別準則的工作中，認識到無窮集合的重要性，並開始從事無窮集合的一般理論研究。
早在十九世紀七十年代初，康托爾兩次在《數學雜誌》上發表論文，證明了函數f(x)的三角級數表示的唯一性定理，而且證明了即使在有限個間斷點處不收斂，定理仍然成立。
同一時期，康托爾在《數學年鑑》上發表了一篇題為《三角級數中一個定理的推廣》的論文，把唯一性的結果推廣到允許例外值是某種無窮的集合情形。為了描述這種集合，他首先定義了點集的極限點，然後引進了點集的導集和導集的導集等有關重要概念。不要小瞧這一步的工作，這是從唯一性問題的探索向點集論研究的開端，併為點集論奠定了理論基礎。
經過康托爾不斷努力，關於集合論的文章，他在《數學雜誌》等刊物上發表了許多文章。在這些學術著作中，康托爾稱集合為一些確定的、不同的東西的總體，這些東西人們能意識到並且能判斷一個給定的東西是否屬於這個總體。
康托爾指出，如果一個集合能夠和它的一部分構成一一對應，它就是無窮的。並且給出了開集、閉集和完全集等重要概念，並定義了集合的並與交兩種運算。
我們從現代數學的角度看待集合的概念，已經非常簡單明瞭，通俗易懂，但在康托爾那個時代，要從無到有去建立一整套體系來解釋“無窮”等相關概念，是非常偉大而又艱苦的工作，集合論可以說是數學中最富創造性的偉大成果之一。
因此，可以毫不誇張地說：關於數學“無窮”的革命，幾乎是由康托爾一個人獨立完成的。
集合在數學領域當中具有不可替代的特殊重要性，自從康托爾創立集合論之後，整個數學界都為之瘋狂，加上一大批數學家半個世紀的努力，一直到20世紀20年代就確立了集合在現代數學理論體系中的基礎地位，可以說，現代數學各個分支的幾乎所有成果都構築在嚴格的集合理論上。
為什麼說按照現代數學發展的觀點，集合論可以說是整個現代數學的基礎呢？
因為數學各分支的研究對象或者本身是帶有某種特定結構的集合如群、環、拓撲空間，或者是可以通過集合來定義的（如自然數、實數、函數）。
最後要特別提醒大家，要學會區分集合和集合論這兩個概念。集合，簡稱集，是數學中一個基本概念，它是集合論的主要研究對象。
集合論是數學當中的一個基本分支學科，它是研究集合（由一堆抽象物件構成的整體）的數學理論，研究對象是一般集合，如包含了集合、元素和成員關係等最基本的數學概念。
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