传说全世界不到20人能看懂的论文，终于被找出了漏洞

本文转自科研圈

2012 年，京都大学数学家望月新一发布了几篇论文，声称证明了 ABC 猜想。这些论文长达五百多页，论述晦涩难懂，坊间传言能完全读懂的不到二十个人。

近六年过去了，数学界终于渐渐意识到，许多人都对它有相似的疑虑，但又都希望别人先提出来。

图片来源：Klaus Kremmerz for Quanta Magazine

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撰文 Erica Klarreich

翻译 戚译引

审校 孙英特

在 9 月 20 日发布的一篇论文里，波恩大学的彼得·舒尔茨（Peter Scholze）和法兰克福大学的雅各布·斯蒂克斯（Jakob Stix）称，望月新一（Shinichi Mochizuki）发布的系列论文中有一个“严重的，无法解决的错误”，用斯蒂克斯的话说。望月新一是京都大学的一名极富才华的数学家，在 2012 年，他在论文中尝试证明ABC猜想，这是数论中最深奥的问题之一。

~ 望月新一关于ABC猜想的论文 ~

Mochizuki, Shinichi (2011), "Inter-universal Teichmüller Theory: A Progress Report", Development of Galois–Teichmüller Theory and Anabelian Geometry. The 3rd Mathematical Society of Japan, Seasonal Institute.

Mochizuki, Shinichi (2012a), Inter-universal Teichmuller Theory I: Construction of Hodge Theaters

Mochizuki, Shinichi (2012b), Inter-universal Teichmuller Theory II: Hodge–Arakelov-theoretic Evaluation

Mochizuki, Shinichi (2012c), Inter-universal Teichmuller Theory III: Canonical Splittings of the Log-theta-lattice

Mochizuki, Shinichi (2012d), Inter-universal Teichmuller Theory IV: Log-volume Computations and Set-theoretic Foundations

尽管数论学家召开了多场会议来讨论望月的证明，他们仍然难以理解它的深层思想。那些论文总计五百多页，论述极为晦涩难懂，而且引用了另外五百多页的望月先前的工作。斯坦福大学数学家布莱恩·康拉德（Brian Conrad）形容研读这些论文有“一种无限后退的感觉”。

诺丁汉大学的伊万·费森科（Ivan Fesenko）在一封邮件中写道，约 12 到 18 名深入研究过这个证明的数学家认为它是对的。但康拉在去年十二月的一次博客讨论中评论，只有“跟望月在同一条轨道”的数学家为证明的准确性作出了担保，“就算是私下讨论，也没有其他人愿意说他们肯定这个证明是完备的”。

不过，在十二月的一篇博客文章中，芝加哥大学的法兰克·卡里加利（Frank Calegari）指出：“数学家很不愿意指出望月的论证中有问题，因为他们不能指出任何确定性的错误。”

这个局面现在有了变化。舒尔茨和斯蒂克斯在文章中指出，在望月新一的四篇论文中的第三篇，“推论 3.12”的证明的末尾处的一行论证有根本缺陷。这条推论对望月新一的 ABC 猜想的证明极为重要。

舒尔茨说：“我认为 ABC 猜想仍然是公开问题，每个人仍然有机会证明它。”

图片来源：Nyani Quarmyne for Quanta Magazine

舒尔茨和斯蒂克斯的结论的理论依据不仅来自他们自己对论文的研究，还来自于一次为期一周的访问。三月，他们到京都大学访问了望月及同事星裕一郎（Yuichiro Hoshi），讨论了这个证明。舒尔茨说，这次访问发挥了巨大的作用，让他和斯蒂克斯能够将反对意见进一步提炼出精华。两人在报告中写道，他们“得出结论，（ABC 猜想）没有被证明“。

但是，那次会面导致了一个令人不满的奇特结果：望月无法说服舒尔茨和斯蒂克斯，他的论证是可靠的；而另外两人也无法说服望月新一，他的论证并不可靠。望月新一已经将舒尔茨和斯蒂克斯的文章贴到了自己的网站上，并附上了几篇自己的文章作为反驳。（本文作者曾邀请望月和星作出评论，但两人没有回复。）

在反驳中，望月认为舒尔茨和斯蒂克斯的批评是源自对他的工作的“某些基本的误解”。他写道，他们的“负面姿态”不能说明（他的理论中）任何缺陷的存在。

正如望月新一的声誉让数学界将他的工作视为证明 ABC 猜想的一次严肃的尝试，舒尔茨和斯蒂克斯的地位保证了数学界会关注他们所说的内容。年仅三十岁的舒尔茨在这个领域中已经声名鹊起，今年八月，他获得了数学界的最高荣誉菲尔兹奖。而斯蒂克斯是望月的研究领域——非阿贝尔几何学（anabelian geometry）中的专家。

康拉德说：“彼得和雅各布都是极其谨慎而深思熟虑的数学家，他们的任何顾虑……绝对值得被严肃对待。”

胶着点

康拉德将 ABC 猜想称为“数论中最杰出的猜想之一”，它始于一个你能想到的最简单的问题：a + b = c。设 a、b、c 为正整数，且没有任何公共的素数因子——例如，我们可以考虑 8 + 9 = 17，或 5 + 16 = 21；但 6 + 9 = 15 不符合条件，因为6、9 和 15 都能被 3 整除。

给定这样的一个方程，然后考虑这三个数字所有的素因数。例如，对 5 + 16 = 21，我们的质因数是 5、3、2、7。将这些数字相乘，得到 210，这个数字比原先的等式中任何一个数字都要大得多。相比之下，对等式 5 + 27 = 32，其质因数为 5、3 和 2，它们的乘积为 30，比原先的等式中的 32 要小。这个乘积之所以变得很小，是因为 27 和 32 是由较小的素因数（分别为 3 和 2）多次乘积得到。

如果你开始探索其他的 ABC 组合，你会发现第二种情形极其罕见。例如，从 1 到 100 之间，你能得到 3044 个不同的数字组合，而其中只有 7 个组合的质数乘积小于 c。这种组合极少出现。ABC 猜想最初在上世纪八十年代被提出，对这个直觉判断进行了描述。

具体而言，回到 5 + 27 = 32 的例子中，32 要大于 30，但只比它大一点点。它小于 30

牛津大学的金明迥（Minhyong Kim）说：“ABC 猜想是一个关于乘法和加法的基本命题。”而正是这样的命题，“让你感觉仿佛正在揭开一个你从未见过的数字系统的某种非常基础的结构”。

而且，a + b = c 方程的简洁意味着大量其他的问题都落入了它的范围之中。例如，费马大定理描述形式为 xⁿ+ yⁿ= zⁿ 的方程，而卡特兰猜想（Catalan's conjecture）认为 8 和 9 是仅有的两个连续的完全幂数（因为 8 = 2³，9 = 3²），它涉及到方程 x^m+ 1 = yⁿ。而 ABC 猜想将以特定形式将对这两个定理提出新的证明，并解决大量与其相关的公开问题。

雅各布·斯蒂克斯是非阿贝尔几何领域的专家，这正是望月工作的领域。图片来源：MFO

哥伦比亚大学的多利安·戈德菲尔德（Dorian Goldfeld）曾写道，这个猜想“仿佛永远处在已知与未知的边界之上”。

ABC 猜想的证明将带来极其丰富的成果，这使得数论学家相信证明这一猜想很可能极其困难。因此，当 2012 年有传言称望月已经给出了证明，许多数论学家一头扎进了他的工作中，却被陌生的语言和不同寻常的表达方法弄得一头雾水。定义绵延好几页，接下来是命题同样冗长的定理，而他的证明基本上只说：

卡里加利在十二月的博文中写道：“每次我听到一个专家（私底下）对望月的论文进行分析，报告都令人厌烦地相似：大量的细节，然后是一道未被证明的结论的悬崖。”

舒尔茨是论文的早期读者之一。他以能够快速深度吸收数学知识闻名，走得比许多数论学家都要远；在论文发布之后不久，他便读完了四篇主要的论文，他称之为“艰难的阅读”。舒尔茨对冗长的定理和简短的证明感到困惑，他觉得这有效但不够充分。他后来写道，在中间的两篇文章里，“似乎并没有发生什么”。

随后，舒尔茨转向第三篇论文中的推论 3.12。数学家通常用“推论“（corollary）一词表示之前的重要定理的次级结论。但是，对于望月的推论 3.12，数学家们同意这是 ABC 猜想证明的核心。卡里加利写道，没有它“就根本没有证明”，“那是一个关键步骤”。

这条推论是中间两篇论文中唯一一条证明过程超过几行的定理——足足有九页。舒尔茨在阅读过程中发现，有一个地方他完全不能跟上逻辑。

舒尔茨当时只有 24 岁，他相信这个证明过程有缺陷。但他大多数时候没有参与关于论文的讨论，只在被直接询问意见的时候作出回答。尽管如此，他认为其他数学家或许会在论文中找到被他忽略的重要思想。或者，他们也许最终会作出和他一样的结论。他认为，无论以哪种方式，数学界肯定能找到点什么。

埃舍尔的阶梯

与此同时，其他数学家正在与这些论文艰苦搏斗。2015 年末，一场讨论望月工作的会议在牛津大学进行，许多人对此满怀希望。但是，康拉德在会议之后不久发表的一篇报告中写道，当几个与望月合作密切的学者试图描述证明的核心思想的时候，听众仿佛遇到了“一团浓雾”。他写道：“那些理解了这项工作的人需要更好地向算术几何（代数几何的一个分支）学家解释它为何有效”。

在康拉德的帖子发布之后几天内，就有三位数学家分别主动邮件联系了他（其中一位就是舒尔茨），他们都提到了同一件事：他们都阅读和理解了那些论文，直到遇到了某个点。

金也从另一位数学家越川皓永（Teruhisa Koshikawa，现任职于京都大学）那里听到了相似的对推论 3.12 的质疑。而斯蒂克斯也被卡在了同一个地方。渐渐地，多位数论学家开始意识到这个推论是一个死结，但他们仍不明确到底是这个论证有漏洞，还是望月需要更好地解释他的论证。

随后，2017 年末有谣言称望月的论文已被接受，即将发表，这令许多数论学家大惊失色。望月本人就是相关期刊《数学科学研究所公刊》（Publications of the Research Institute for Mathematical Sciences，简称PRIMS）的主编，这个安排被卡里加利称为“糟糕的决策”（不过编辑通常会避免让自己陷于这样的境地）。不过相比之下，许多数论学家更关心的是这些论文是否仍然如此难以阅读——在他们看来。

在 2015 年的一场讨论他的工作的学术会议上，望月新一出现在视频中。图片来源：Philipp Ammon for Quanta Magazine

芝加哥大学的马修·艾默顿（Matthew Emerton）写道：“没有一个声称读懂了这些论证的专家成功向（为数众多的）其他仍旧一头雾水的专家进行了解释。”

对于，卡里加利在一篇博文中批评这样的情况是“彻底的灾难”，得到了众多著名数论学家的一致赞同。“我们现在面临着这个荒谬的情况，ABC 在京都成了一个定理，但是在其他任何地方都仍然是一个猜想”，卡里加利写道。

PRIMS 很快对媒体作出回应，声明这些论文实际上并没有被接受。不过在此之前，舒尔茨决定公开他先前一段时间对数论学家私下讨论的内容。他认为，围绕这一证明的讨论变得“过于社会化”：“每个人都在说这感觉不像一个证明，但是没有人说出来，‘实际上证明中有一个地方没人能看懂’。

因此，在卡里加利博文的评论区，舒尔茨留言称自己“完全无法跟上推论 3.12 的证明中图 3.8 之后的逻辑”。他补充，“那些声称理解了证明的数学家不愿意承认，这个地方还缺点什么。”

望月在京都大学的同事、菲尔兹奖得主森重文（Shigefumi Mori）给舒尔茨发送邮件，提议让他和望月进行一次会面。舒尔茨联系了斯蒂克斯，三月，两人来到京都，与望月和星谈论了证明中的这道关卡。

在证明 ABC 猜想的尝试中，望月将其转换成一个关于椭圆曲线的问题，这是一种特殊的三次方程，有两个变量 x 和 y。这个转换过程很简单，在望月的工作之前就已经广为人知——只需要将每一个 ABC 方程与一条图像与 x 轴相交于 a、b 和原点的椭圆曲线联系起来，但它能让数学家探索椭圆曲线的丰富结构，从而将数论与几何、微积分和其他领域联系起来。（同样的转换正是安德鲁·威尔斯(Andrew Wiles) 1994 年证明费马大定理的核心过程。）

随后，证明 ABC 猜想就相当于证明椭圆曲线的两个量值之间具备一定的不等关系。望月工作将这个不等关系进一步转换成另一种形式，斯蒂克斯说，这可以被认为是对比两个集合的体积量。推论 3.12 正是望月证明这个新的不等关系的过程，如果它成立，ABC 猜想就得到了证明。

正如舒尔茨和斯蒂克斯所描述的那样，望月新一的证明中将两个集合的体积量看作处在两个不同的实数系的空间中，而这两个空间可以看作是一个环上的六个不同的实数系空间中的一部分。并且其通过映射来解释了每个空间和其环上的邻域中的其它空间之间的相互关系。斯蒂克斯说，要想弄清楚集合的体积量之间的关系，就需要理解在每个不同的空间中的体积的测量标准之间的关系。

斯蒂克斯说：“如果两个东西之间有不等关系，但是‘量尺’会因为你无法控制的一个因素而缩水，那么你就对这个不等关系的实际意义失去了控制。”

舒尔茨和斯蒂克斯相信，正是论证中的这个关键点导致了错误。在望月的映射中，“量尺”互相之间是局部相容的。但是斯蒂克斯说，如果你沿着环面的不同方向前进，你最终会得到不同的测量标准。他说，这种情况就像是著名的埃舍尔阶梯，你不停地向上走，却总是来到比出发时更低的地方。

舒尔茨和斯蒂克斯称，这种体积测量标准的不相容性意味着它所得出的不等关系建立在错误的量上面。而且他们表示，如果你作出调整，使得体积测量局部相容，那么这种不等关系就毫无意义。

加利福尼亚大学的数学家基兰·凯德拉雅（Kiran Kedlaya）曾深入研究过望月的论文，他认为舒尔茨和斯蒂克斯“识别出了一种使论证可能不成立的方式”，“所以，如果这个论证是正确的，它必须具备某种（与舒尔茨和斯蒂克斯所描述的）不一样的、微妙得多的东西”。

望月反驳，那种微妙得多的东西正是证明所做的。他写道，舒尔茨和斯蒂克斯犯了错，任意将两个不同的数学对象混为一谈。他表示，当他对同事说明舒尔茨和斯蒂克斯的反对意见的本质时，他的描述“得到了惊人的一致反应，那就是震惊甚至不相信（有时还伴随着大笑！），这表明可能发生了巨大的误解”。

现在，数学家们得消化一下舒尔茨和斯蒂克斯的论证，还有望月的回应。但舒尔茨希望这个局面能与望月最初的一系列论文的遭遇有所不同，它不该停滞不前，因为他和斯蒂克斯的反驳的主旨并不高度技术性。他说，其他数论学家“应该完全能够跟上这个星期我们和望月之间的讨论”。

而望月的看法截然不同。在他看来，舒尔茨和斯蒂克斯的批评来自于“缺少足够的时间来深入思考所讨论的数学”，或许还伴随着“一种对于用新方式思考熟悉的数学对象的深层的不适，或者说陌生感”。

金说，那些已经对望月的 ABC 猜想证明感到怀疑的数学家或许会将舒尔茨和斯蒂克斯的报告视为故事的结局。其他人或许会想要研读新的报告，金自己就已经开始了这项活动。他在一封电子邮件中表示：“我觉得我得更仔细研究一番，才能作出判断。”

在过去几年中，许多数论学家已经放弃了试图理解望月的论文。但如果望月和后来者能够给出一个详尽而自洽的解释，说明为什么舒尔茨和斯蒂克斯的理解过于简化（假设它就是这样），那么“这可能将大大减少人们的疲惫感，或许还能让人们更愿意重新研究这个课题”，凯德拉雅说。

与此同时，舒尔茨表示：“我认为这不该被视为一个证明，除非望月能作出详尽的修订，并更好地解释这个关键步骤。”他个人认为：“我真没有发现什么能让我们离证明 ABC 猜想更接近的关键思想。”

金说，无论这场讨论的结果是什么，找出望月的论证中这个特殊的部分都有助于让问题更加清晰。他说：“雅各布和彼得所做的工作是对数学界的一个重要贡献。无论发生什么，我很确信这些报告迈出了决定性的一步。”

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