小平邦彦，1915-1997，日本数学家，生前被选为日本学士院院士、美国科学院和德国哥廷根科学院外籍院士。先后在美国普林斯顿高等研究院、哈佛大学、约翰·霍普金斯大学、斯坦福大学、日本东京大学等任教授，在调和积分理论、代数几何学和复解析几何学等诸多领域做出了卓越贡献。1954年获菲尔兹奖，1957年被日本政府授予文化勋章，1984年获沃尔夫奖。
本文选自小平邦彦的随笔文集《惰者集：数感与数学》。这篇文章讲述了小平邦彦先生大学时候的往事，我想对于刚入学的大一新生，尤其是数学系的大一新生有一定的启迪作用。
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1935 年，我刚考入东京大学数学系时，数学系的学生人数是15人。全系只有5个教研组，教授包括高木贞治老师、中川铨吉老师、挂谷宗一老师、竹内端三老师、末纲恕一老师5 人，副教授包括辻正次老师和弥永昌吉老师，以及讲师和助手各1人，分别是田中穣老师和龟谷老师，另外还有负责打杂的大叔大妈各1人。当时还没有行政人员，所以龟谷老师还兼任图书管理员。既然没有招聘行政人员，那就说明数学教研室基本没有什么行政工作，老师们看起来也很悠闲。研究生都聚集在一个房间里，也没有开设专门的课程或专题研讨课。而且，学习年限不设限制，也不存在硕士论文和课程博士，学生产生想法的话可以写论文，没有的话可以不写。现在，数学系学生人数增至45 人，是原来的3 倍。按理说行政人员原来是0人，翻3倍后也应该等于0。奇怪的是，现在也不知道为什么会增加如此多的行政事务。
当年，数学系老师较少导致课程也少。虽然规定了必修课，不过也不会计算学分。我们新生主要上高木贞治老师的微积分学、末纲恕一老师的代数课、中川铨吉老师的几何学等。现在东京大学的“艺术咖啡”原来是理学院的楼，那座楼里有一间相对大一些的教室。因为物理系学生也需要学微积分学，所以我们会一起在那里上高木贞治老师的课，每周4次，从上午11点半开始。物理系学生上午在那间教室有课，就算刚过上午11点进教室，前排的位置也早就被他们占了。高木贞治老师嗓门小，板书的字也小，坐在后排听不清也看不清楚。幸好上课内容跟老师为岩波数学讲座执笔的《解析概论》（中文引进版为《高等微积分》（第3 版修订版），人民邮电出版社，2011年。—编者注）如出一辙。反而高木贞治老师转身在黑板上写公式时露出的大耳朵至今让我印象深刻。课表上写着微积分学从上午11点上到上午12 点，不过高木贞治老师大概在上午11点10分左右进教室，然后直接去休息室坐着，悠闲地喝着茶。虽然他看起来不凶，气场却让人觉得难以靠近。11点半开始上课，上午12点准时下课，整整30分钟。每周4次共计2小时，高木贞治老师在一年内讲完了《解析概论》的所有内容（不包括现行版本中的勒贝格积分），简直不可思议。微积分学的专题练习课由弥永昌吉老师承担，我已经回忆不起来当时具体做了哪些题目，不过还记得老师站在边上盯着我们笔记本问：“会不会做？”岩波讲座出版过弥永昌吉老师的《几何学基础论》。
在我进入大学前曾经读过这本书，从作者复杂的名字和看似晦涩的内容来看，原以为弥永昌吉老师非常严肃。实际上弥永昌吉老师个子高挑，十分亲切，长相跟当时红极一时的电影《离别》中的肖邦有些相似。
在代数学的第一节课上，末纲恕一老师在黑板上画了一个大圆，然后又画了两根胡须。这个图形是德语文字，指的是身体的意思。代数的专题练习课由末纲恕一老师自己任课，非常可怕。如果我们站在黑板前做题时一旦停下笔思考，末纲恕一老师就会凶巴巴地教训我们：“磨蹭什么呢？”就算在教室地板上发现一张纸屑，他也会大发脾气。
代数学期末考试那天发生了“二·二六事件”（1936 年2 月26 日，一部分日本军官率领1483名日本官兵，以“昭和维新”“尊皇讨奸” 等为口号，袭击了当时的日本首相冈田启介等政府要人。——编者注），结果考试临时取消，我们开心地去了上野动物园。不知为什么，后来我们经常去动物园玩。
当时数学还没有现在发达，所以有一些必修课在现在根本无法想象。其中有一门中川铨吉老师的几何学，好像当时老师借给我们每人一本萨蒙（Salmon）的《解析几何》，是一本有点古色古香的书。这本书很厚，差不多有300 页，内容围绕三维欧几里得空间中二维曲面理论，仅二维曲面就写了300 页。除此之外还包括许多复杂的练习题，因此几何的专题练习课上做了不少题目。当时表现最好的是大西，我经常逃课，中川铨吉老师会记在心里，下一节课一定会提问我，真叫人受不了。我现在完全记不得几何学课上学过的内容，说不定100 年之后，我们现在研究的数学也可能会被遗忘吧！
当时，我们还要上一门叫作力学专题练习的必修课。既然有专题练习课，那应该有开设力学课程，不过我完全没有印象。担任力学专题练习课的犬井老师总是从下午1 点上到下午5点或6点，特别累人。下午1点刚过两分，老师走进教室，在黑板上写下题目后转身离开，然后我们学生开始解题，当然不是什么容易的题目。于是我们就会中途休息一会儿，去第二食堂买个冰激凌再回教室，下午4 点左右老师回来讲题，结束时差不多下午5 点或6 点。力学专题练习课是一段痛苦的修行，因为是必修课，所以没法儿逃课。每个年级只有15个人，因为人少，所以我们关系都很融洽。
我们大二时安倍亮入学，安倍在一年前考物理学系时由于健康原因被拒绝入学，他入学考试的平均成绩高达96 分。安倍亮知识渊博、无所不知。后来我成了物理系的助教，有机会调阅学生过去的入学考试成绩，我发现东京大学往年最高分差不多是70分左右，96分这种成绩简直是前无古人、后无来者。我们跟他马上打成一片，如同同班同学。
安倍见多识广，一起散步时他能说出路边花草的名字，看电影时他能说出所有建筑物的建造年份和建筑风格。他钢琴弹得不错，也精通音乐理论。有一天大家一起去第二食堂吃冰激凌，以知识渊博自居的中村秀雄给我们背诵《神皇正统记》时中途卡壳，然后伊藤清接着后面背诵又卡住，最后又是安倍接着背诵。在那以后，大家都觉得中村是自诩的知识渊博，安倍才是货真价实的知识渊博。
但是与现在的数学系学生相比，我们当时悠闲多了，三年内只要修满12 ～ 13门课程就达到毕业要求。当时数学没有现在发达，所以专业领域种类偏少，专业书的数量也极少，例如拓扑学相关的专业书只有Kerékjártó 的《拓扑学》、赛费特（Seifert）和特雷法尔（Threlfall）的《拓扑学》（Lehrbuch de Topologie）、亚历山德罗夫（Alexandroff）和霍普夫（Hopf）的《拓扑学》等3本，只看完亚历山德罗夫和霍普夫的书就能写拓扑学论文。当时还没有出现复流形理论、微分拓扑学等。在神田的三省堂书店，日语的数学书只摆满一个陈列柜。当时的本乡大道非常空旷，任何地方都能随意穿行。从赤门前往本乡三丁目的路上有一家叫作青木堂的老咖啡馆，我总是把它想象成夏目漱石《三四郎》里出现的青木堂。
大二时的课程有挂谷宗一老师的微分方程式、竹内端三老师的函数论等。竹内端三老师的函数论包括黎曼映照定理的证明等。竹内老师的课非常精彩，大家一听就懂，以至于都会忘记做笔记。
大三时的研讨课（相当于现在大四的研讨课）由弥永昌吉老师任课，不过我完全记不起当时上了什么内容，脑里完全没有任何研讨课的情形。弥永老师说我当时在研讨课上讨论的是亚历山德罗夫和霍普夫的《拓扑学》。虽然我记得自己在暑假期间拼命阅读这本《拓扑学》，但是完全没有印象是为研讨课而准备。虽然我在大三的研讨课上研究了拓扑学，但是最后没有将拓扑学定为自己的研究领域。现在，学生如果不尽早确定研究领域，尽快发表论文的话，就无法成为一名数学家。不过当时的情形与现在完全相反。我到三十四五岁才将复流形确定为自己的研究领域。
我从数学系毕业后参加普通招考，考进了物理学系。入学考试规定要考我最不擅长的化学，我想着反正也不会做，于是就去找了物理系主任寺泽老师，向他诉苦说：“我化学很差。”结果寺泽老师告诉我，化学在物理系的入学考试中占的比例特别小，即使考零分也没关系。因此我松了一口气，复习了一个月左右就去参加考试了。
在当时，东京大学的理论物理带有很强的物理数学色彩，其中有几门必修课是数学。不管是量子力学还是相对论，物理系学生最头疼的还是其中的数学部分。因此对于数学系的毕业生来说，物理系的课程相对比较轻松。而且我向担任其中几门课程的老师申请了免试。下课时，我在教室跟老师说：“请允许我免试。”老师们当场就答应了我的请求。现在想来，为什么当时不用通过教研室讨论和教授委员会讨论就擅自应允？免试学生的成绩如何处理？实在觉得不可思议。不过，物理数学专题练习课跟数学的力学专题练习课一样费神。那时候我还去旁听了藤原咲平老师的气象学课程，藤原老师被称作“天气博士”，名气很大。藤原老师在第一节课就慢条斯理地提醒我们：“第一学期讲点无聊的内容，等第二学期旁听的学生少了以后，再讲些有意思的东西。”所以我去了一次后，就再也没去了。后来我去旁听了天文系萩原雄祐老师的课，但课程进度太快，我完全一头雾水。天文课下课后我坐在休息室喝茶，萩原老师来喝茶时一脸得意地问我：“怎么样，是不是没听懂？”这时我才明白，有些课程并非是为了让学生能听懂而开设的。
就这样一转眼又到了大三，我在坂井卓老师的研讨课上学习了场的理论。同时还写了数学论文，这是因为在物理系时有许多空闲时间。在当时，数学学会和物理学会统称为Physico-Mathematical Society of Japan。不知道是学会预算充足，还是投稿的人少，我投了一篇与霍尔效应测量有关的长篇论文，不到几个月就正式出版了。也许是因为那时还没有设置审阅人一职。
我从物理系毕业时受物理系的委托去代课，我已经不记得自己具体上过什么课了，不过其他的课我也不懂，所以应该上的是物理数学。第一次站在讲台上看着身穿黑色制服的学生时，有一种奇妙的感觉。一年后我去了文理大学数学系当助教，再过了两年，我又去了东京大学物理系当助教。现在想来也觉得不可思议，我没有写过一篇有关物理的论文，结果却被聘为物理系的助教。在物理系，我当然是承担物理数学的课程，不过我曾经上过相对论。那时战争进入白热化阶段，上课时间明显缩短，三四周就上完了相对论的内容。我认真研读了外尔的《空间、时间与物质》后，将其内容整理压缩成三四周的课程，我自己都觉得了不起。不过10年前我重新反复读了《空间、时间与物质》，也没有看懂。也许自我感觉良好只不过是错觉而已，如果还能找到当年的笔记，真想好好看一看。
后来，东京的空袭越来越严重，空袭警报器一响，我们就立马躲到物理教室的地下室。在我看来，从统计上来说也许地下室比地上安全，不过与我个人的安全无关。B-29的机身闪着银色光芒，编队从一万米的蓝天上空飞行而过，看上去还是很漂亮的。我实在无法想象空袭者与躲在阴暗地下室的我们是一样的人类，我有种被外星人攻击的感觉，并没有产生同仇敌忾之心。然而每次警报一响，我们就得钻进地下室，如此一来根本没办法上课。于是我跟父亲商量，想要把物理教研室疏散到外地，父亲说想疏散的话，他帮我们寻找疏散地。后来我在教研室会餐时提出“想要把物理教研室疏散到乡下”的想法，大家问我“有没有确定疏散地”，我回答说“我的父亲会帮忙寻找”，于是当场众人合议决定“那我们疏散到外地去吧”。我大吃一惊，因为做梦都没有想到这么大的问题竟然可以如此随意地决定。我只不过随口一提，但既然决定了，那我就必须负起责任。而且，数学系跟我们一起疏散到外地。可惜我的办事能力几乎为零，因此只好把相关事宜拜托给父亲，例如与疏散地的村办事处以及借我们教室的小学等协商，最后听父亲的吩咐去拜访了村长、小学校长等。总之我什么都没干，不过别人却认为我虽然什么都没干，却挺有本事，也许这是我后来被选为理学院院长的原因之一。我天生懒惰，曾经在Life杂志的Natural Library中看过南美有一种叫作树懒的动物，它们总是挂在树枝上一动不动，身上长满藻类，看起来就像是植物。树懒因为懒惰而成功存活，它们是大地懒（megatherium）唯一的后代。看完以后我非常兴奋，这简直就是我理想中的生活，我讨厌所有带“长”字的事物。如此懒惰的我却被选为院长，还真是因果报应。
迁到疏散地后，我们虽然成功逃离了空袭，却开始为粮食匮乏问题而烦恼。原以为乡下的粮食储量比东京要多，结果却在意料之外。只有经历过才知道饥饿有多惨，尽管如此大家还是都很勤奋学习。从这个疏散到外地的班级走出了许多优秀的数学家，由此可见，生活环境与学习之间的关系也不大。
那年8 月，战争终于结束。原以为“必胜”的战争却迎来了失败，不过最终没有引起太大骚动。或许大家在心底里都暗自认为肯定会战败吧。
回到东京以后，粮食匮乏问题没有任何好转，不过学生们都在刻苦学习，而且表现很好。在年度考试时，即使我绞尽脑汁出了很多难题，还是会有几个学生拿满分。不知道为什么，当时研究室的抽屉里放着一个柠檬，虽然长了绿霉，不过香味没变。柠檬在当时是稀有品，所以尽量将柠檬切成小片泡茶，我一边喝着红茶，一边讲课到晚上8 点。当然中间没有吃晚饭，明明吃不饱，不知为何大家都精神抖擞，想来也是神奇。
我还是在物理系当助教，同时写着数学论文。旧制大学的助教在战后依然清闲，既不用干杂事，也没有委员会的工作。在物理方面，我学了量子力学的基础、场的理论、海森堡（Heisenberg）的S矩阵理论等。海森堡根据“应该用可直接观测的量来构建物理理论”的哲学思考提出了S 矩阵理论的构思。该构思极具吸引力，我曾经在岩波的《科学》上发表了一篇有关S矩阵的小论文。多亏了旧制大学自由悠闲的学习氛围，我才能在不确定数学专业的情况下学习物理。我非常想将现在的大学还原成自由悠闲的学习氛围，可惜已经不可能实现。之后我移居美国，18 年后回日本，一来是因为我有强烈的回国之心，二来觉得差不多也该回去了。不过，我想回去，是想回到战争爆发以前那个悠闲的日本，可惜再也回不去了。
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●《惰者集：数学与数学》是日本数学家、菲尔兹奖与沃尔夫奖得主小平邦彦先生的思想随笔文集，书中收录了小平邦彦先生对数学、数学教育的深思、感悟文章，记述了数学家对“数学”“数感”的独到理解，文笔幽默，深入浅出。同时，书中还辑录了小平邦彦先生在普林斯顿高等研究院时期，与赫尔曼·外尔等数学大家交流的趣闻轶事，对深入理解数学、数学教育具有深刻启示。
●《几何世界的邀请》为日本数学家、菲尔兹奖得主小平邦彦先生的几何入门作品，书中以欧几里得几何、希尔伯特几何、复数与几何为轴线，由浅入深，层层深入，从作为图形科学的几何、作为数学的几何等不同角度介绍完整的几何世界，是几何入门、训练思维与创造力的佳作。
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