抛物线与直线的交点数量，与联立方程的根的判别式有关，通常情况下，这类问题的基本解题思路便是将抛物线与直线解析式联立得到一个一元二次方程，然后求根的判别式，这是第一层次的要求，更进一步，如果是直线改为线段，那么在以上基础上，便需要讨论交点是否在线段上，有了范围限制，难度陡然上升，需要相应的解题技巧也较强。
题目
如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的边OC在y轴的正半轴上，OA在x轴的负半轴上，点A(-5n,0)，BC∥AO，且AB:AO:OC=5:5:3
(1)用n分别表示：点B的坐标____________，点C的坐标____________
(2)若点D是线段OC上的一个动点，过B、D两点的直线为y=kx+m(k≠0)，当BD=OD时，求k的值；
(3)若四边形OABC的面积为9，过A、O两点的抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)与线段AB只有唯一公共点A，求a的取值范围.
解析：
(1)B(-n,3n),C(0,3n)
(2)由点D在直线y=kx+m上，可直接写出D坐标为(0,m)，然后表示出线段OD=m，CD=3n-m，BC=n，在Rt△BCD中，根据勾股定理列方程得m²=(3n-m)²+n²，化简后得m=5/3n，于是直线BD解析式为y=kx+5/3n，再把B(-n,3n)代入即可求得k=-4/3
(3)由四边形面积为9可列方程1/2(n+5n)3n=9，解得n=1，然后得到直线AB解析式为y=3/4x+15/4，抛物线经过点O，c=0，然后代入A(-5n,0)，可得到b=5a，于是抛物线解析式为y=ax²+5ax，我们联立方程ax²+5x=3/4x+15/4，用分解因式法解得x1=3/(4a)，x2=-5.下面就a>0和a<0进行讨论，当a>0时，抛物线与线段AB只可能有交点A，当a<0时，另一交点横坐标在-1右侧，故有3/(4a)>-1，解得a-3/4
解而思
jieersi
抛物线与直线、线段的交点本质上是同一类方法，只是需要讨论交点存在性和数量，按照这几个知识的综合程度讲，并不属于特别难的问题，经过适当练习，完全可以掌握。
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