老師們：
解題研究第二境界（上篇）將和您一起剖析甘老師獨特解法背後的研究思路；
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第一境界：掌握已有的解題技巧；
第二境界：剖析背後的思維方法；
第三境界：分享自己的研究成果。
一、甘老師獨特解法介紹
《二次曲線上的四點共圓問題的完整結論》專題視頻中甘老師有一個獨特的解法。
“奇”解法：
二、探究解法思維的起源
小編在探究這種解法，發現一種很有意思的思想：
通過線性組合，兩條二次曲線可以變化為另一條新的二次曲線，並且經過原來兩條二次曲線的所有公共點。
這種思想方法在200年前法國的幾何學家拉梅曾經提出過，具體可以從Julian Coolidge的《A HISTORY OF THE CONIC SECTIONS AND QUADRIC SURFACES》一書中第Ⅵ章THE INTRODUCTION OF NEW ALGEBRAIC TECHNIQUES看到（感謝反球博士提供的資料）：
18世紀的數學家拉梅提出了一種觀點：如果用兩個等於0的多項式表示2條軌跡，那麼它們的線性組合成新的軌跡將會經過它們的所有公共點。（想要更深的瞭解拉梅的後續工作和這本書介紹的其他線性組合的方法的老師可以閱讀這本書。）
三、剖析甘老師解題思維：
回到我們的問題中來：
要證明A,B,C,D四點共圓，那麼只需證滿足這四點座標的二次曲線方程就是圓即可。
目前題目中已給出一條滿足A,B,C,D四點座標的二次曲線（橢圓），應找另一條經過這四個點的二次曲線，之後借鑑拉梅的想法，經過線形組合將其組合成圓的形式，這樣A,B,C,D四點共圓得證。
在這裡甘志國老師用“直線乘以直線”的方法找到一條經過四個點的二次曲線，如果對“直線乘以直線”的方法和背後原理好奇的老師可以點擊進入本專題第二個視頻進行觀看。
得出兩條二次曲線之後就可以通過線性組合去得到圓的曲線麼？才思敏捷的您肯定發現了一些問題。是的，在使用線性組合方法時，總有一些代表二次曲線的多項式在形式上並不是那麼好，比如出現：
這種含有2交叉項的多項式並不是高中所學的圓的標準方程。然而，通過反思這個現象，甘老師得出了什麼呢？在本專題的第四個視頻中，甘老師對這種情況做出了一定的解釋，並得出了四點共圓的充要條件。
很多老師都把這種方法稱為曲線簇法，但是並沒有仔細理解組合這兩條二次曲線的做法，希望甘老師的視頻和本篇文章會幫助到您。
這麼一個巧妙的方法只解決一類問題實在是有點可惜，甘老師在本專題第十二，十三，十四個視頻給出了他對四點共圓的充要條件的推論。比如：當四個點變為三個點時，會有什麼情況呢？推論的原理及應用涉及了極限和隱函數求導。
如果您渴望漲知識，渴望探究解法思維，那就快來觀看專題視頻吧。
預告：解題研究第二境界（下篇）我們還將為您收集、剖析其他老師們關於“二次曲線上的四點共圓問題”的研究成果。
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