關於悖論，首先要明白什麼是悖論。
《數學百科辭典》一書中，對於悖論是這麼解釋的：能夠導出與一般判斷相反的結論，而要推翻它又很難給出正當的根據時，這種論證稱為悖論。其實簡單來講，所謂的悖論，就是指從這樣一個命題A，可推導出另一個命題B，但這個明天本身卻存在自相矛盾的現象：若B為真，則推出B為假；若B為假，又會推出B為真。
而將已認知的悖論進行劃分的話，可以分為這三大類：
（1）一個論斷看起來好像肯定錯了，但實際上卻是對的（佯謬）；
（2）一個論斷看起來好像肯定是對的，但實際上卻錯了（似是而非的理論）；
（3）一系列推理看起來好像無懈可擊，可是卻導出了邏輯上的自相矛盾。
如果還沒看明白，那我們就講講幾個比較熟悉的悖論吧！首先還是要跟大家分享一下最熟悉的唐·吉訶德悖論。
著名小說《唐·吉訶德》裡描寫了一個殘酷的國王，在他所能統治的國家裡有一條法律：每個旅遊者都要回答一個問題：“您來這裡幹什麼？”如果回答對了，一切事情都好辦；如果回答錯了，立刻被絞死。某天，有個旅遊者來到這個國家，回答上述問題時他答道：“我是來被絞死的。”如果旅遊者回答是對的，按照法律，他就不應該被絞死；如果旅遊者回答是錯的，按照法律應被絞死，而他的“我是來被絞死的。”這句話顯然又是回答對了，也不應該被絞死。最後，國王無可奈何，只得對旅遊者放行。
除此之外，想必大家也應該還記得理髮師悖論和祖父悖論。
理髮師悖論
這是羅素集合悖論的一種通俗說法：薩維爾村裡的一名理髮師，給自己立了一條店規：“只給自己不給自己刮臉的人刮臉。”那麼這位理髮師的臉該不該由自己刮呢？如果理髮師的臉由他自己刮，則他屬於“自己給自己刮臉的人”，因此，理髮師不應該給自己刮臉；如果理髮師的臉不由自己刮，則他屬於“自己不給自己刮臉的人”，因此，他的臉可由自己刮，顯然又與上述“自己不給自己刮臉的人”相矛盾。
祖父悖論
祖父悖論又稱為“外祖母悖論”是一種時間旅行的悖論，科幻故事中常見的主題。最先由法國科幻小說作家赫內·巴赫札維勒(René Barjavel)在他1943年的小說《不小心的旅遊者》（Le Voyageur Imprudent）中提出。情景如下：
假設你回到過去，在自己父親出生前把自己的祖父母殺死；因為你祖父母死了，就不會有你的父親；沒有了你的父親，你就不會出生；你沒出生，就沒有人會把你祖父母殺死；若是沒有人把你的祖父母殺死，你就會存在並回到過去且把你的祖父母殺死，於是矛盾出現了。
接下來，我們繼續講講與三次數學危機相關的悖論。
1、二分法悖論
故事是這樣的，假設一個人在到達目的地之前，要先走完路程的1/2，再走完剩下總路程的1/2，再走完剩下的1/2……按照這個要求可以無限循環的進行下去。。。
因此有兩種情況：①這個人根本沒有出發；②只要他出發了，就永遠到不了終點。（儘管離終點越來越近）
其實現在想想，這個悖論從邏輯上來看就是錯的。
2、貝克萊悖論
17世紀的時候，牛頓與萊布尼茲共同創建了微積分，給全世界數學的發展帶來了新的曙光，然而此時卻有跳出來指出了這麼一個問題：
在1734年，英國哲學家喬治·貝克萊出版了名為《分析學家或者向一個不信神數學家的進言》的一本書。
在這本書中，貝克萊對牛頓的理論進行了攻擊，指出求x²的導數時，會出現如下矛盾：
貝克萊認為這是依靠雙重錯誤得到了不科學卻正確的結果。
然而這個問題並沒有阻礙微積分的發展，下拉格朗日、柯西等數學家的改進下，微積分依舊上當前數學研究中重要的基礎內容。
3、羅素悖論
在1900年，國際數學家大會上，法國著名數學家龐加萊高調宣稱：“……藉助集合論概念，我們可以建造整個數學大廈……今天，我們可以說絕對的嚴格性已經達到了……”
然而羅素提出的一個悖論：
所有不包含自身的集合的集合，它到底包不包含自身呢？如果它包含自身，那麼它就不是不包含自身的集合，所以也就不是所有不包含自身的集合的集合的元素。如果它不包含自身，那它理應是所有不包含自身的集合的集合的一個元素。這樣的一個集合，包不包含自身，都必將引發矛盾。
如果看不懂這個悖論，那就請直接參考理髮師悖論。
就在這次危機爆發後很長一段時間內，數學家們曾試圖對“集合論”的定義加以限制，進而排除悖論。然而並無法消除悖論存在的可能性。
直到1931年，哥德爾提出了一系列不完備定理並予以證明。
①任意一個包含一階謂詞邏輯與初等數論的形式系統，都存在至少一個命題：它在這個系統中既不能被證明也不能被證否。②如果一個形式系統含有初等數論，當該系統自洽（所有公理都不互相矛盾）時，它的自洽性不可能在該系統內證明。
也就在此時，關於數學悖論的討論也就暫告一段落。
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