簡化的極化碼解碼算法

0 引言

2009年ARIKAN E教授提出了極化碼^[1]，並且通過數學方法證明了當碼長無限長時其性能可以達到香農極限。極化碼一經提出就在國際上引起廣泛的關注，並且在2016年11月3GPP RAN1 #87會議上確定5G eMBB場景控制信道編碼為極化碼。

極化碼在實際應用中存在著一些缺點。連續刪除(Successive Cancellation，SC)譯碼對於長碼有很好的糾錯性能，但是對中短碼長譯碼性能有顯著的降低。為了克服這個問題，學者們提出了許多改進方法，如置信傳播（Belief Propagation，BP）譯碼算法^[2]、線性規劃（Linear Programming，LP）譯碼算法^[3]等。這些算法雖然可以提高一部分譯碼性能，但是譯碼算法的複雜度太大。一些算法針對SC算法進行了改進，文獻[4]提出了連續刪除列表(Successive Cancellation List，SCL)譯碼算法，特別是在冗餘循環校驗(Cyclic Redundancy Check，CRC)輔助下的SCL的譯碼性能可以超過最大似然(Maximum Likelihood，ML)譯碼^[5]。但同時SCL譯碼的複雜度也隨之增加。文獻[6]中提出的堆棧SC（SCStack，SCS）譯碼有和SCL譯碼相同的譯碼性能，此外SCS譯碼的時間複雜度遠低於SCL譯碼，並且在高的信噪比下可以降低搜索寬度L。

本文對SC譯碼和SCL譯碼進行了算法簡化，降低了算法的複雜度和時延。並且用數學證明的方法證明了簡化算法的可行性。

Polar Code是一種結構性與迭代性極強的信道編碼技術，其設計核心理論是對信道的極化，信道極化過程主要包括兩部分^[1]：信道聯合過程和信道分裂過程。

1.1 信道極化^[1]

信道聯合：對已知的二進制離散無記憶信道W進行N次迭代複製W^N：X^N→Y^N，N=2ⁿ，並對複製所得信道進行遞推方式組合。W_N和W^N之間的轉移概率關係為：

圖1所示為在高斯信道下，碼長為N=4 096的信道極化仿真圖。根據仿真結果，可以看出部分信道的信道容量成兩極分化。據此可以選出I(W)→1的信道傳輸信息比特作為信息位，I(W)→0的信道傳輸固定比特作為凍結位。

1.2 極化碼編碼

2 SC譯碼算法

把β_v傳遞給p_v。這時v節點的譯碼消息傳遞終止，因為在餘下譯碼過程中將不會再次激活節點v。

2.1 簡化的SC譯碼算法

本節通過簡化傳統譯碼的消息傳遞規則，簡化了SC譯碼算法。並且證明簡化譯碼算法的譯碼性能是與傳統的譯碼性能相同。

(1)Rate-0節點

對於Rate-0節點v，由於它所有後代都是Rate-0節點，因此當v接收到軟信息α_v時，不去激活左右的子節點而直接計算β_v：

對於任意d_v=n-1的Rate-1節點一定滿足式(15)。假設d_v=i的Rate-1節點也滿足(15)，於是對於d_v=i-1的Rate-1節點v的子節點d_v=i，滿足式(15)。因此，根據上面的推導可以證明式(12)成立。

②證明式(13)成立：當d_v=n時，對Rate-1節點，式(13)顯然是成立，因此，可以通過歸納法證明d_v

2.2 算法複雜度分析

3 SCL譯碼算法

為了提高SC譯碼算法在碼長較短情況下糾錯能力，SCL譯碼算法被提出，L代表搜索寬度。每次必須有一點被估計，它的可能值0和1都需要被考慮。因為存在L組碼字候選，所以每次新的位估計產生2L組候選路徑，其中一半需要丟棄。因此，路徑度量值(Path Metric，PM)被提出。PM計算如下：

SCL譯碼算法是從根節點出發，按廣度優先的方法對路徑進行擴展；每一層向下一層擴展時，選擇當前層中具有較小PM的L條。當沒有到達葉節點而搜索寬度已經達到，按照PM的從大到小的排列保留PM小的L條路徑。直到到達葉節點，然後選取PM最小路徑作為譯碼結果。

為了進一步提高極化碼的譯碼性能，編碼前在信息比特中添加CRC，然後利用SCL譯碼算法獲得L條搜索路徑，最後藉助“正確信息比特可以通過CRC校驗”的先驗信息，對這L條搜索路徑進行挑選，從而得到正確譯碼結果。

4 簡化的SCL譯碼算法

傳統的SCL譯碼算法每次進行路徑擴展時都會產生2L條路徑，但是對於凍結比特，由於譯碼結果是已知的，因此對於凍結比特不進行路徑擴展，直接判決比特，路徑度量值也不改變，從而減少剪枝算法執行的次數，達到降低算法複雜度的目的。

由上述的譯碼過程分析，式(20)PM的計算可以改為：

因為凍結比特在譯碼過程中結果是已知的，所以不需要去選擇路徑，進而PM也不需要計算。另外，由於分裂次數的減少，剪枝算法也隨之減少，並最終達到了降低算法複雜度的目的。

5 仿真結果與分析

如圖4所示，在高斯信道下，碼長為1 024，碼率為0.5，採用二進制相移鍵控調製，譯碼輸出使用24位CRC校驗。搜索寬度L分別為1，2，4，8，16，32 的CA-SCL譯碼性能，仿真數據是106幀，一幀長1 024個比特。仿真結果表明，隨著L的值增加，誤碼率在逐漸降低，CA-SCL譯碼算法的性能明顯要優於SC(L=1)譯碼算法。

6 結論

極化碼是目前唯一可以通過數學證明達到香農極限的信道編碼技術，並且已經成為5G控制信道的編碼方案。本文詳細敘述極化碼編譯碼的原理和結構，並提出關於SC譯碼和SCL譯碼的優化算法，在不改變譯碼性能的前提下，降低了算法複雜度。通過對SC譯碼和SCL譯碼的性能進行了仿真分析，結果表明，隨著搜索寬度L的增加，極化碼的譯碼性更優，但複雜度也隨著增加。因此關於SCL的複雜度和數據吞吐量是下一步研究方向。

參考文獻

[1] ARIKAN E.Channel polarization：a method for constructing capacity-achieving codes for symmetric binary-input memoryless channels[M].IEEE Press，2009.

[2] ARIKAN E.A performance comparison of polar codes and Reed-Muller codes[J].Communications Letters IEEE，2008，12(6)：447-449.

[3] GOELA N，KORADA S B，GASTPAR M.On LP decoding of polar codes[C].Information Theory Workshop.IEEE，2010：1-5.

[4] TAL I，VARDY A.List decoding of polar codes[J].IEEE Transactions on Information Theory，2012，61(5)：2213-2226.

[5] NIU K，CHEN K.Stack decoding of polar codes[J].Electronics Letters，2012，48(12)：695-697.

[6] NIU K，CHEN K.CRC-aided decoding of polar codes[J].IEEE Communications Letters，2012，16(10)：1668-1671.

[7] BALATSOUKAS-STIMMING A，PARIZI M B，BURG A.LLR-based successive cancellation list decoding of polar codes[J].IEEE Transactions on Signal Processing，2015，63 (19)：5165-5179.

作者信息:

王 丹，李孟傑，李玉河，賈東昇

(重慶郵電大學 重慶市移動通信技術重點實驗室，重慶400065)

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