目前數學思維方法研究的某些進展

目前關於數學思維及其方法的研究，已經引起了數學教育研究者們廣泛的重視和深入的研究，這是一個不斷髮展的學科。

（一）關於代數，幾何與數學概念的思維研究

鄭毓信教授在《數學思維與數學方法論》一書中，通過對數學方法論的歷史分析，在學習心理學的鄰域內，研究討論了數學思維及其由此形成的一些規律與方法。

1. 關於代數學學習過程中的思維活動

在代數學習過程的思維研究中，把“過程”向“對象”的轉化，稱為“凝聚”，並且把它看作是數學思維的一種基本形式。國外的數學教育研究者還把“凝聚”這一思維過程進一步細分為內化，壓縮，客體化三個階段。

利用代數學習中思維的研究，獲得了關於學生思維發展過程的認識。在代數學習中經常把字母（符號表達式）看作是所要求取的未知量的直接取代物，並且主要關心的是如何通過運算以求得所說的未知量。這種思維方式稱為代數的“程序性觀點”

從學習心裡學的層面研究，對於代數的學習可以被看作是一系列的由“程序性”觀點向“結構性”觀點（由“過程”向“對象”）的重要演化。國外的學者研究表明，學生對於字母項的理解可以分為六個不同的水平：

（1）賦予特定數值的字母

（2）對字母不予考慮

（3）字母被看作具體的對象

（4）字母作為一個特定的未知量

（5）一般化的數

（6）字母作為一個變量

國外的一些學者認為，從思維發展的學習心理層面分析，幫助學生由“程序性”觀點向“結構性”觀點的轉變是代數教學中的一個重要目標。

2. 關於幾何思維的發展

從心裡學的層面考察思維，著名心理學家，哲學家皮亞傑的兒童認知發展的“四階段說”（感知運動階段，前運演階段，具體運演階段，形式運演階段）在西方教育界有很大影響。對於這種完全否認數學認識活動的客觀基礎的觀點，數學教育學者認為它是“極端建構主義”理論一個弊病的表現，即未能正確認識“反映”與“建構”之間的辯證關係。

荷蘭數學教育家馮.希爾夫婦提出的思維發展理論，是專門對幾何思維的分析。這種幾何思維的研究避免了皮亞傑一般心理學研究的寬泛性，針對幾何學的思維方式，馮.希爾夫婦把學生的幾何思維分為五個水平：

（1）直觀

（2）描述，分析

（3）抽象，關聯

（4）形式推理

（5）嚴密化，元數學

同時，他們認為學生需要在教師引導下通過五個階段達到各個新的水平。五個階段分別為：

（1）信息，學生開始熟悉相關內容

（2）定向指導，讓學生主動進行探索

（3）解釋，學生認識道所要學習的關係要用自己的語言作出描述

（4）自由定位，學生需要綜合應用概念和關係求解問題

（5）整合，學生對學到的知識作出總結

馮.希爾夫婦認為，學生在五個階段完成後，數學的幾何思維可以上升到一個新的更高的水平。

3. 代數思維與幾何思維在形式與方法上的比較

代數思維與幾何思維具有不同的思維形式，並形成了自己的思維方法。英國數學教育家道爾對兩種思維形式進行了區別與比較。

（1）抽象的基礎：幾何思維是感知；代數（算術）思維是運作

（2）抽象的性質：幾何思維是經驗抽象；代數（算術）思維是凝聚

（3）抽象的立場：幾何思維是感知性對象；代數（算術）思維是構思性對象

（4）心理表徵的類型：幾何思維是圖像型；代數（算術）思維是符號（語言）型

4. 關於數學概念思維的研究

幾何思維與代數思維之間存在重要區別，但是隨著數學思維的不斷髮展，這種區別變得越來越不重要了，這兩者可看作是數學概念思維的兩種基本形式。從幾何思維，代數思維形成的數學概念思維具有三種最重要的形式：感知，運作和反思。其主要性質如下表：

西方學習心理學對數學概念思維的一些特徵還進行了方法論意義上的描述。其中重要的特徵包括以下幾個方面

（1）過程---對象型思維。把數學概念看作是一種“過程---對象的對偶體”，概念是“過程”與“對象”兩個側面的一種整合。

（2）形象思維與邏輯思維。從數學概念思維具有形象性與邏輯性的不同思維特徵，形象思維與邏輯思維的互補應被看作是數學思維的一個重要特點。

（3）概念域。這裡是指數學概念在心理表徵的不同側面之間作出必要的轉換，也即應當善於通過對立環節的綜合發展形成概念的整合性意象。

（二）中國與西方學生數學思維比較研究

《華人如何學習數學》一書從實證對比的角度對華人學生數學思維與西方學生數學思維的差異做出比較，分析與評判，對數學思維，數學思維的方法研究很有借鑑意義。

蔡金法先生運用3類任務去檢測美國學生和中國學生的數學表現（其中20個多項選擇題檢測計算技能；18個多項選擇題檢測簡單問題解決技能；7個開放性題檢測複雜問題解決技能）。

研究結果表明：我們感受到一些有關數學思維的跨文化研究的獨特性和挑戰，中國學生在計算類任務中都表現得明顯好於美國學生；然而，我們發現，令人奇怪的是，美國學生在過程開放的任務上的表現要明顯勝過中國學生，而這種過程開放的任務，我們認為是最具新奇性的。

這個研究的結論描述了中國學習者數學思維的六個特徵：

（1）在計算技能和基礎知識的任務上表現好於複雜問題解決的任務上

（2）中國學生喜歡使用抽象的策略和符號特徵

（3）中國學生通常應用更加常見的解題方法

（4）提出要求，中國學生能提供更多的解題方法

（5）與美國學生一樣會犯不正確的符號操作的錯誤

（6）中國學生在問題解決中不太願意冒風險

從數學文化與數學思維的關係分析，這些研究的數據，樣本還缺乏一種文化傳統方面的思考與分析，顯然，“過程開放任務”及“冒風險”的思維比較，已超出數學課堂教育的範疇，它明顯帶有個人或群體的非智力因素（情感，意志，性格等）方面的特徵，而這種特徵更多地體現在民族文化傳統和數學文化的傳統之中。目前，這方面還缺乏深入的研究工作，可以認為，中西方學生數學思維的比較，將為數學文化與數學思維的研究提供更為廣闊的發展空間。

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