現值,期望和效用
基本所有的金融經濟學的概念現值和期望。
計算他們的現值允許決策者聚合現金流(或其他收益)產生的資產在未來,一個值的日期,並因此更容易比較兩個機會; 這個概念因此財務決策的起點。 它的歷史也就相應地早期:理查德·威特討論了複利在深度已經在1613年,在他的書“Arithmeticall問題”;[7]進一步發展,約翰·德·威特和哈雷。
立即擴展是將概率與現值,導致的期望值準則制定資產價值的函數預期支出的大小和發生的概率。 這些想法源於布萊斯•帕斯卡和皮埃爾·德·費馬。
然而,這種決策方法無法考慮風險厭惡情緒(“財務任何學生都知道”。 換句話說,由於個人接受更大實用程序從一個額外的美元時他們很窮和效用相對較豐富,因此,方法是“調整”的重量分配到各個相應的結果(“州”)。 (一些投資者可能尋求風險而不是風險規避,但相同的邏輯將適用)。
不確定性下的選擇可能會是最大化的特點期望效用。 更正式,由此產生預期效用假說州,如果某些公理是滿意,主觀的與賭博相關的個人價值那個人”年代統計期望的估值結果的賭博。
這些想法的動力源自各種矛盾觀察期望值框架下,等聖彼得堡悖論(見也埃爾斯伯格悖論)。 這裡的發展最初由於丹尼爾·伯努利,後來正式的約翰·馮·諾依曼和奧斯卡·摩根。
無套利定價和平衡
的概念套利無,“理性”,定價和平衡然後加上上面獲得“經典”[8](或“新古典主義”金融經濟學。
合理的定價是假設資產價格(因此資產定價模型)反映了嗎無套利價格的資產,任何偏離這個價格將“套利”。 這種假設是有用的在固定收益證券定價,尤其是債券,是金融衍生工具的定價的基礎。
經濟均衡一般來說,一個國家的經濟力量如供需平衡,在缺乏外部影響這些平衡經濟變量的值不會改變。一般均衡處理行為的供應、需求和價格在整體經濟中與幾個或多個相互作用的市場,通過尋求證明一組價格的存在,將導致整體平衡。 (這是與局部平衡,只有分析單一市場)。
這兩個概念聯繫如下:市場價格不允許套利,即他們組成一個無套利的市場,那麼這些價格還表示,構成一個“套利均衡”。 直觀地說,這可能是被考慮到,套利機會確實存在,那麼可以預期價格變化,因此不處於平衡狀態。因此,套利均衡一般經濟均衡的先決條件。
立即,正式的、擴展的這個想法,資產定價的基本定理,表明市場描述——此外(隱式和相應)完整的通過構造一個——可能會讓金融決策風險中性概率測度相應的市場。
“完整的”意味著這裡是所有資產的價格在世界的每一個可能的狀態,這可能押注未來世界狀態的全套因此可以構建與現有資產(假設沒有摩擦),基本上同時解決為n(中性)的概率n價格。 正式的推導將繼續通過套利參數。對一個活生生的例子理性#風險中性定價估值,在一個簡化的環境下,經濟只有兩個可能的州和地方有關p和(1−p)是兩個相應的概率(即隱含),反過來,派生的分佈,或“測量”。
有了這種方法,預期,即要求,任何安全(或組合)的迴歸將等於無風險回報,加上一個“風險調整”,[6]即安全特定的風險溢價補償的程度,它的現金流是不可預測的。 所有定價模型實質上就是變量,給出具體的假設和/或條件。這種方法是一致的上面的與期望,但基於“市場”(即無套利的,每定理,因此平衡)而不是個人的偏好。
因此,繼續這個例子中,特定的安全價值,其預測的現金流,並通過乘以down-statesp和(1 -p)分別,然後折扣在無風險利率加上一個合適的溢價。 一般來說,這種溢價可能派生的CAPM(或擴展)將會看到#不確定性。
國家的價格
與上面的關係建立,進一步專業化德模型可能是派生的。 這個重要的結果表明,在一定的經濟條件下,必須有一組價格,這樣總供給等於總要求的每一個商品經濟。 這裡的分析往往是進行假設代表代理。
德模型適用於與最大經濟體完整的市場中,存在一個市場每個時間段和遠期價格為每一個商品在所有時間裡。 直接擴展,然後,的概念國家的價格安全(也稱為一個德安全),合同,同意支付一個單位的計價單位(貨幣或商品)如果發生特定狀態(“向上”和“向下”在上面的簡化示例)在未來特定時間和支付在其他州零計價單位。 這個安全的價格是這個價格的。
在上面的例子中,國家價格將等於p和美元的現值(1−p):即一個人將支付今天,分別和下狀態證券; 的國家價格向量價格是向量的所有國家。 應用於估值,衍生品的價格今天會是[up-state-price×up-state-payoff + down-state-price×down-state-payoff); 見下文關於這裡的沒有任何風險溢價。 對於一個連續隨機變量表示連續的可能狀態,存在的價值集成在國家價格密度; 看到隨機貼現因子。 這些概念擴展鞅定價和相關的風險中性測度。
國家價格立即找到應用程序作為一個概念性的工具(“未定權益分析”);[6]但也適用於估值問題。鑑於描述的定價機制,可以分解導數值(真事實上“每個安全”)的線性組合state-prices; 例如back-solve state-prices對應觀察到衍生品價格。這些恢復state-prices可以用於估值有業務往來的其他儀器的基石,或其他相關的決策的基石。 (布里登和Litzenberger 1978年的工作[15]建立了在金融經濟學中使用的價格。)
合成模型
mm模型主張二世與高風險債務。 作為利用(D / E)增加時,加權平均(k0)保持不變。
有效邊界。 雙曲線是有時被稱為“馬科維茨的子彈”,和它的向上傾斜的部分如果沒有無風險資產的有效邊界是可用的。 一種無風險資產,直線是有效邊界。 圖形顯示了卡爾,資本配置線,形成了風險資產時單項資產而不是市場,在這種情況下,線是CML。
資本市場線的切線畫點的無風險資產可行域對風險資產。 切點的代表市場投資組合。 CML結果從市場投資組合的組合和無風險資產(L)。增加槓桿(R)創建也在CML的槓桿投資組合。
資本資產定價模型(CAPM)
{ \ displaystyle E(R_ {我})= R_ { f } + \β_ {我}(E(R_ { m })-R_ { f })}
證券市場線CAPM的:表示顯示個人的預期回報率安全作為系統的一個函數,non-diversifiable風險。
從市場數據模擬幾何布朗運動與參數。
布萊克-斯科爾斯公式
{ \ displaystyle { \壓裂{ \部分V } { \部分t } } + { \壓裂{ 1 } { 2 } } \σ^ S ^ { 2 } { 2 } { \壓裂{ \部分^ { 2 } V } { \偏S ^ { 2 } } } + rS { \壓裂{ \部分V } { \部分年代} }房車= 0 }
布萊克-斯科爾斯公式看漲期權的價值:
{ \ displaystyle { \ {對齊}開始C(S,t)& = N(d_ { 1 }))(d_ { 2 })柯^ { - r(t t)} \ \ d_ { 1 } & = { \壓裂{ 1 } { \σ{ \ sqrt { t t } } } } \離開[\ ln \離開({ \壓裂{年代} { K } } \右)+ \離開(r + { \壓裂{ \σ^ { 2 } } { 2 } } \右)(t t)\]\ \ d_ { 2 } & = d_ { 1 } - \σ大概{ t t } } { \ \ \ \結束{對齊} } }
應用前面的經濟概念,我們可能會得到不同的經濟- - - - - -和金融模型和原則。 如上所述,兩個平時關注的領域是資產定價和公司財務、第一資本提供者的角度來看,第二個用戶的資本。 在這裡,(幾乎)所有其他金融經濟學模型,問題解決的一般框架的“時間、不確定性、選項和信息”,下面我們將看到。
- 現在時間:錢在未來交易要錢。
- 不確定性(或風險):要轉賬的錢在未來是不確定的。
- 選項:一方事務可以在以後做決定將影響後續轉移錢。
- 信息:未來的知識可以減少或消除,與相關的不確定性未來貨幣價值(FMV)。
應用這個框架,上述概念,導致所需的模型。 這個推導過程始於“不確定性”的假設,然後擴展到包含其他的考慮。 (這個部門有時表示“確定的”和“隨機”。)
確定
這裡的起點是“投資確定性”。 的費舍爾分離定理,聲稱的目標公司將其現值最大化,不管其股東的偏好。 相關的是mm模型定理,這表明,在某些情況下,一個公司的價值是影響公司融資,既取決於股息政策也決定通過發行股票或發行債券籌集資金。 證明使用套利收益參數,作為基準來評估的影響因素模型外,影響價值。
確定的機制(企業)提供價值投資價值的理論(約翰·威廉姆斯毛刺)提出一項資產的價值應該計算使用“評估現值的規則”。 因此,普通股,內在,長期價值是其未來現金流淨現值,的形式股息。 是什麼還有待確定合適的折現率。 後來的發展表明,“理性”,即在正式意義上,適當的折現率應該取決於資產的風險相對於整體市場,而不是其業主偏好; 見下文。淨現值(NPV),這些想法的直接延伸,第一次被正式應用於企業財務決策喬爾·迪安在1951年。
這些“確定性”的結果一般都是工作在企業融資; 不確定性是“資產定價模型”的焦點,如下。
不確定性
為“不確定性下的選擇”這兩個假設的合理性和市場效率更緊密的定義,導致現代投資組合理論(MPT)的資本資產定價模型(CAPM)——equilibrium-based突的Black-Scholes-Merton理論(BSM; 通常,簡單的布萊克-斯科爾斯)期權定價——無套利結果。 注意,後者價格計算導數,這樣無套利的關於更基本,平衡決定的,證券價格; 看到資產定價。
考慮到利潤從私人信息的能力,自私自利的商人收購和行為動機是他們的私人信息。 在這一過程中,交易員導致越來越多的“正確”,即。非常高效。價格:有效市場假說或有效市場假說(尤金•法瑪,1965)。 有效市場假說(隱式地)假設平均預期構成一個“最優預測”,即使用所有可用的信息,價格是相同的未來的猜測:假設理性預期。 有效市場假說允許,當面對新的信息,一些投資者可能反應過度和反應不足,但什麼是必需的,然而,是投資者的反應遵循正態分佈所以,淨效應在市場價格不能可靠地利用超額利潤。 在競爭激烈的限制,市場價格反映了所有可獲得的信息和價格只能將響應消息;[18]當然,這可能是“好”或“壞”,或大或小的:隨機遊走假說。 因此,如果金融資產價格(廣泛)有效,然後從這些(平衡)值偏差可能不會持續很長時間。
在這種情況下投資者可以假定理性行為:他們的投資決策必須計算或損失肯定; 相應地,套利機會出現的地方,然後套利者會利用它,加強這個平衡。 這裡,如上certainty-case下,具體假設定價是價格計算,預期未來股利的現值,基於當前可用的信息。 所需要的不過是一個理論來確定合適的折現率考慮到這種不確定性:這是由MPT及其CAPM提供。 同理,理性分析的布萊克-斯科爾斯arbitrage-exploitation-gives上升的感覺; 這裡的選項值最終與CAPM一致。
一般,那麼,投資組合理論研究投資者應該如何平衡風險和回報投資許多資產或證券時,CAPM更專注,描述如何,處於平衡狀態,市場的價格風險資產之間的關係如何。 重要的是,這個結果將是獨立於投資者的風險厭惡水平,和/或假設效用函數,從而為企業融資提供了一個容易確定貼現率決策者如上所述,和其他投資者。 收益的論點如下:如果一個人可以構造一個有效邊界即: 每個組合的資產提供最好的預期利潤水平的風險等級,看到diagram-then均值-方差有效投資組合可以形成簡單的資產組合無風險資產和“市場投資組合”(共同基金分離定理),這裡的組合策劃的資本市場線或CML。 然後,鑑於這種CML,所需的回報風險證券投資者將獨立的效用函數,完全由自己決定協方差(“貝塔”)與聚合,即市場風險。 這是因為投資者可以通過槓桿效用最大化與定價; 看到CML圖。 在公式中可以看到,這個結果是一致的前面的,等於無風險回報加上一個調整的風險。(介紹了有效邊界哈里-馬科維茨。 CAPM是派生的傑克特雷諾(1961,1961),威廉·f·夏普(1964),約翰·林特納(1965)和Jan Mossin獨立(1966年)。)
布萊克-斯科爾斯提供金融市場包含的數學模型導數樂器,價格的合成公式歐洲風格的選項。 表示為布萊克-斯科爾斯模型方程偏微分方程描述價格的變化隨著時間的選擇; 它是派生假設對數正態分佈,幾何布朗運動(見布朗的金融市場模型)。 背後的主要金融洞察力模型是一個可以完全對沖買賣的標的資產的選擇正確的方式,因此“消除風險”時的風險調整定價({ \ displaystyle V }
、價值或價格的選項,在生長{ \ displaystyle r }
無風險利率; 看到布萊克-斯科爾斯公式§金融解釋)。[6][11]反過來,這種對沖意味著只有一個——它無套利感覺選項。 這價格是返回的布萊克-斯科爾斯期權定價公式。 (公式,因此價格是一致的,公式解決方案方程。) 由於公式是沒有參考份額的預期回報,布萊克-斯科爾斯要中立的風險(假設),符合“消除風險”。 同理,因此,通過風險中性定價公式也可以直接派生的期望。 (BSM與以前版本的公式”是一致的路易Bachelier和愛德華·o·索普;[20]雖然這些人更“精算”味道,和沒有建立風險中性打折。[9]另請參閱保羅•薩繆爾森(1965)。[21])
Underlying economics
Present value, expectation and utility
Underlying all of financial economics are the concepts of present value and expectation.
Calculating their present value allows the decision maker to aggregate the cashflows (or other returns) to be produced by the asset in the future, to a single value at the date in question, and to thus more readily compare two opportunities; this concept is therefore the starting point for financial decision making. Its history is correspondingly early: Richard Witt discusses compound interest in depth already in 1613, in his book "Arithmeticall Questions"; further developed by Johan de Witt and Edmond Halley.
An immediate extension is to combine probabilities with present value, leading to the expected value criterion which sets asset value as a function of the sizes of the expected payouts and the probabilities of their occurrence. These ideas originate with Blaise Pascal and Pierre de Fermat.
This decision method, however, fails to consider risk aversion ("as any student of finance knows"). In other words, since individuals receive greater utility from an extra dollar when they are poor and less utility when comparatively rich, the approach is to therefore "adjust" the weight assigned to the various outcomes ("states") correspondingly. (Some investors may in fact be risk seeking as opposed to risk averse, but the same logic would apply).
Choice under uncertainty here may then be characterized as the maximization of expected utility. More formally, the resulting expected utility hypothesis states that, if certain axioms are satisfied, the subjective value associated with a gamble by an individual is that individual's statistical expectation of the valuations of the outcomes of that gamble.
The impetus for these ideas arise from various inconsistencies observed under the expected value framework, such as the St. Petersburg paradox (see also Ellsberg paradox). The development here originally due to Daniel Bernoulli, and later formalized by John von Neumann and Oskar Morgenstern.
Arbitrage-free pricing and equilibrium
The concepts of arbitrage-free, "rational", pricing and equilibrium are then coupled with the above to derive "classical"(or "neo-classical"[9]) financial economics.
Rational pricing is the assumption that asset prices (and hence asset pricing models) will reflect the arbitrage-free price of the asset, as any deviation from this price will be "arbitraged away". This assumption is useful in pricing fixed income securities, particularly bonds, and is fundamental to the pricing of derivative instruments.
Economic equilibrium is, in general, a state in which economic forces such as supply and demand are balanced, and, in the absence of external influences these equilibrium values of economic variables will not change. General equilibrium deals with the behavior of supply, demand, and prices in a whole economy with several or many interacting markets, by seeking to prove that a set of prices exists that will result in an overall equilibrium. (This is in contrast to partial equilibrium, which only analyzes single markets.)
The two concepts are linked as follows: where market prices do not allow for profitable arbitrage, i.e. they comprise an arbitrage-free market, then these prices are also said to constitute an "arbitrage equilibrium". Intuitively, this may be seen by considering that where an arbitrage opportunity does exist, then prices can be expected to change, and are therefore not in equilibrium. An arbitrage equilibrium is thus a precondition for a general economic equilibrium.
The immediate, and formal, extension of this idea, the fundamental theorem of asset pricing, shows that where markets are as described —and are additionally (implicitly and correspondingly) complete—one may then make financial decisions by constructing a risk neutral probability measure corresponding to the market.
"Complete" here means that there is a price for every asset in every possible state of the world, and that the complete set of possible bets on future states-of-the-world can therefore be constructed with existing assets (assuming no friction), essentially solving simultaneously for n (risk-neutral) probabilities, given n prices. The formal derivation will proceed by arbitrage arguments.For a worked example see Rational pricing#Risk neutral valuation, where, in a simplified environment, the economy has only two possible states—up and down—and where p and (1−p) are the two corresponding (i.e. implied) probabilities, and in turn, the derived distribution, or "measure".
With this measure in place, the expected, i.e. required, return of any security (or portfolio) will then equal the riskless return, plus an "adjustment for risk", i.e. a security-specific risk premium, compensating for the extent to which its cashflows are unpredictable. All pricing models are then essentially variants of this, given specific assumptions and/or conditions.[6][11] This approach is consistent with the above, but with the expectation based on "the market" (i.e. arbitrage-free, and, per the theorem, therefore in equilibrium) as opposed to individual preferences.
Thus, continuing the example, to value a specific security, its forecasted cashflows in the up- and down-states are multiplied through by p and (1-p) respectively, and are then discounted at the risk-free interest rate plus an appropriate premium. In general, this premium may be derived by the CAPM (or extensions) as will be seen under #Uncertainty.
State prices[edit]
With the above relationship established, the further specialized Arrow–Debreu model may be derived. This important result suggests that, under certain economic conditions, there must be a set of prices such that aggregate supplies will equal aggregate demands for every commodity in the economy. The analysis here is often undertaken assuming a representative agent.
The Arrow–Debreu model applies to economies with maximally complete markets, in which there exists a market for every time period and forward prices for every commodity at all time periods. A direct extension, then, is the concept of a state price security (also called an Arrow–Debreu security), a contract that agrees to pay one unit of a numeraire (a currency or a commodity) if a particular state occurs ("up" and "down" in the simplified example above) at a particular time in the future and pays zero numeraire in all the other states. The price of this security is the state price of this particular state of the world.
In the above example, the state prices would equate to the present values of $p and $(1−p): i.e. what one would pay today, respectively, for the up- and down-state securities; the state price vector is the vector of state prices for all states. Applied to valuation, the price of the derivative today would simply be [up-state-price × up-state-payoff + down-state-price × down-state-payoff]; see below regarding the absence of any risk premium here. For a continuous random variable indicating a continuum of possible states, the value is found by integrating over the state price density; see Stochastic discount factor. These concepts are extended to martingale pricing and the related risk-neutral measure.
State prices find immediate application as a conceptual tool ("contingent claim analysis"); but can also be applied to valuation problems.Given the pricing mechanism described, one can decompose the derivative value (true in fact for "every security" ) as a linear combination of its state-prices; i.e. back-solve for the state-prices corresponding to observed derivative prices.These recovered state-prices can then be used for valuation of other instruments with exposure to the underlyer, or for other decision making relating to the underlyer itself. (Breeden and Litzenberger's work in 1978 established the use of state prices in financial economics.)
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