《數學家講解小學數學》簡介前篇：伍鴻熙教授談中小學數學教育存在的主要問題

《數學家講解小學數學》，伍鴻熙著，趙潔、林開亮譯，北京大學出版社，2016年

《數學家講解小學數》簡介

作者 | 趙潔 林開亮

數學課要講得孩子們有興趣。孩子們都是有好奇心的。他們對數學本來也有好奇心。可是如果教得不好，把數學講得乾巴巴的，扼殺了好奇心，數學就難了。

陳省身（見【28】）

如果我們希望得到更多更好的社會支持，那麼作為團體，我們必須做得更好。特別的，我們必須培養出更好的數學教師。我要非常謹慎地說，促使我決定成為職業數學家的最重要的人是 Lottie Wilson，她是我從前的高中數學教師。Wilson 夫人讓人理解到她的課有一個本質的特徵，她明白數學的崇高和神秘，她還知道，得到正確的答案無法用別的來代替。

P. A. Griffith（見【12】）

當然讀者要問，是否必須要求學生學習正確的數學？要知道，不正確的數學是非理性的產品，不是從按部就班、有跡可循的思路得到的結果。我們不可能要求中小學生學習這種不合情理的數學。譬如說，要讓學生掌握“負負得正”而不講邏輯推理，唯一的辦法就是說服學生某些數學只能死記硬背不能推理。一旦有了這個心理狀態，學生難道還有希望去學習高深的數學嗎？又譬如說，一般的課本要求學生了解“變量” 是什麼才能學習代數。在這種情況下，學生們不免產生一種錯覺，每見一個符號就提心吊膽，以為這個符號一定是一個在紙上跳動的“變量”。這種數學是能夠讓學生學習的嗎？

伍鴻熙

概述

近些年來，中小學的數學教育引起了世界各國的數學家的廣泛關注，其中的代表者有：俄國的阿諾爾德（Arnold【2，3】），美國的巴斯（Bass【5，6】），匈牙利的羅瓦茲（Lovász【16】），中國的吳文俊（【26】）、姜伯駒（【14】）等。這裡我們要介紹的是美籍華人伍鴻熙（Hung-Hsi Wu）關於中小學數學教育的理念與工作。

為了提高美國大、中、小學的數學教育水平，加州大學伯克利分校的知名數學教授伍鴻熙十年前正式轉行投身數學教育， 特別是為中小學數學教師做師資培訓。伍教授的目標很明確， 就是要讓數學老師教好數學， 最終讓學生明白數學是能夠學懂的。近十餘年裡， 伍教授發表了多篇關於數學教育的文章， 見諸數學教育的各種期刊雜誌、 會議文集。一些代表性的文章可見於伍鴻熙教授的個人主頁，http://math.berkeley.edu/∼wu.

近二十年來，伍教授對中小學數學作了系統的剖 析，融合師資培訓的經驗，將其成果總結成三套師資培訓專著《數學家講解小學數學》、《初中代數序曲》與《初中代數》、《高中數學教程 I-III》，分別適用於小學、初中、高中數學教師，真可謂“廿年辛苦不尋常”。下面我們就來簡單地介紹一下這些專著。

《數學家講解小學數學》（【19】）主要介紹了小學數學教師應該掌握的關於數的一些理論，包括自然數、分數、有理數、無理數以及涉及到的某些初等數論，分別詳細地討論了這些概念及其運算性質。在首都師範大學數學科學學院李慶忠教授的鼓勵和丁潔、王盼盼、 王麗芳等同學的幫助下，筆者已將《數學家講解小學數學》翻譯成中文，並由北京大學出版社出版。本文第三節將對此書展開詳細的介紹與評述。

《初中代數序曲》（【20】）從分數講到初等幾何， 目的是要把初中代數所需要的一切知識都說清楚。特別值得一提的是，書中對初等幾何的討論，開始嘗試用直觀的方法解釋了“全等”與“相似”的基本概念， 然後用同樣直觀的方法解釋了兩個三角形“相似”的刻劃條件。這個處理初中幾何的方法，是目前美國國家統一核心數學標準中從初二到高中的幾何標準的基礎。

《初中代數》（【20】）介紹初等代數的基本概念， 包括正確運用符號、線性方程及其圖形（為什麼是一條直線）、函數的概念、一次與二次函數及其圖形，等等。值得指出的是，這部分說明了，為什麼懂得恰當地運用符號就可以明白“變量”是一個慣用的名詞而不是一個數學上的概念。另一方面，這部分也指出了， 為什麼配方的技巧是瞭解二次函數所有問題的基本工具。

《高中數學教程 I-III》（【21】）內容涵蓋了分數、負數、初等數論、代數（多項式、指數、對數、複數、 代數基本定理）、幾何（全等、相似、平面三角形的幾何、圓的幾何、面積與體積）以及初等的微積分。

2010 年 6 月，美國頒佈了國家統一核心數學標準（Common Core State Mathematics Standard，以下簡稱CCSMS），這也是伍教授自始至終參與完成的。

2011 年 9 月，伍教授在首都師範大學為數學院的師生做了題為“高觀點下的中小學數學”的系列講座，其間筆者有幸與伍教授近距離接觸，從而對伍教授關於數學教育的想法和工作有了進一步的瞭解。這裡筆者 想談談我們的一點心得，與各位讀者分享一下我們的 點滴收穫。本文旨在引起讀者對伍教授所做工作的興趣，最終目的則是希望引起教育同行們對數學教育的 關注。

1 伍教授其人

伍鴻熙，1940 年出生於香港，1961 年在哥倫比亞大學取得數學學士學位，1963 年在麻省理工學院取得數學博士學位。他先後擔任過麻省理工學院的研究員、 普林斯頓高等研究院成員，1965-2009 年任教於加州大學伯克利分校，2009 年至今是該校名譽退休教授。1997-2005 年期間，伍教授與加州政府就數學教育進行了全方位的合作。

伍鴻熙教授，圖片來自 math.berkeley.edu

2000-2001 年任美國國家教育進展評估數學指導委員會委員，2006-2008 年擔任美國總統的國家數學顧問組的成員。他目前是2011 數學與自然科學項目 TIMSS （Third International Mathematics and Science Study，第三次國際數學和科學評測）評審委員會成員。

伍鴻熙是知名的幾何學家，是陳省身先生在伯克利所營建的幾何王國的核心人物之一。他與學生 R. E. Greene 合作，對複流形的曲率與函數論關係作了精細的研究，得到了許多深刻的結果。受陳省身先生關於多複變函數的 Nevanlinna 理論幾何化觀點的影響，他在微分幾何的框架下重新詮釋並進一步發展了 Ahlfors-Weyl 關於全純曲線的 Nevanlinna 理論，並形成專著《全純函數的值分佈論》，作為普林斯頓大學 Annals of Mathematics Study 叢書第 64 號出版。他還與薩克斯（R. K. Sachs）合作寫了一本《廣義相對論：給學數學的人》以及《廣義相對論和宇宙學》，前一本書作為GTM 叢書第 48 號出版，並且有蕭欣忠先生的中譯本（臺北曉園出版社出版）。

在陳省身先生的帶動與鼓舞下，伍教授多次回國講學，其講義經整理出版的有《黎曼幾何引論》、《黎曼幾何選講》、《緊黎曼曲面引論》、《微分幾何中的Bochner 技巧》。這些著作膾炙人口、引人入勝，深受讀者歡迎，培養了廣大本科生和研究生對幾何的興趣， 掀起了國內學習、研究幾何的陣陣熱潮，造就了一批又一批年輕的幾何學者。

從 1992 年起，伍教授開始關注數學教育工作。他注意到，當時的中小學數學教育體系、教育方式以及教材中存在一系列問題。由於教師不能給予正確的指導，學生受不到正確的數學教育，以致逐漸喪失了學習數學的信心。作為數學家，他認為僅僅提出這些問題是遠遠不夠的，關鍵是要想辦法解決這些問題。如果僅僅指出問題而不提出解決問題的方法，那麼隱含 的意思就是這些問題很容易解決。但事實上，對於數學教育來說，我們必須重新思考數學知識方面存在的種種誤區。如果數學家想致力於改進數學教育而不僅僅是想引發爭論，那麼他們就應該努力針對每個問題進行解決。正是這種想法促使伍教授逐漸轉行走上了數學教育之路。

從 2000 年起，伍教授開始在美國組織一年一度的為期三週的中小學數學暑期師資培訓，這一項目陸續受到了加州政府、洛杉磯教育辦公室、Stephen D. Bechtel. Jr. 基金會的資助。這種師資培訓以數學知識為主要載體，經受住了時間的考驗，逐漸得到了大眾 的認可。十多年來，受到培訓的教師的人數已成百上千，並且還將有更多的教師因此而受益。

2008 年，在從事數學教育近十年之後，伍教授在第四屆世界華人數學家大會中學數學教育論壇上（見【18】）談到了他的三點心得：

第一，數學教育是“數學工程”，與“數學”有異；

第二，數學家如要改善數學教育，需要作建設性的批評；

第三，數學家應該致力於師資培訓。但要有收穫，就需要對中小學數學有深切的認識。

2 伍教授談中小學數學教育

存在的主要問題

伍教授認為，美國中小學數學教育的問題主要來自於三個方面：教師、教材和師資培訓。同樣的問題在大陸也相當嚴重，下面我們就分別來談一談這三個方面的問題。

2.1 教師方面的問題

伍教授認真思考美國中小學數學教育的問題根源所在，得出這樣一個驚人的結論（見【29】）：“在美國，中小學數學教育的最大問題是，很多中小學數學教師不懂數學。”伍教授舉例說，有的數學教師甚至不明白定義和定理之間的差別。根據在三大洲（北美洲，亞洲和大洋洲）進行的教師培訓的經驗，他發現，這種情況其實很普遍。如果教師對他所講授的學科缺乏很好的理解（見【23】），而妄圖“以其昏昏使人昭昭”，那麼後果可想而知，他根本不可能教好學生。反之，如果教師對所教的科目有透徹的瞭解，他本人的腦海中有一幅整體上清晰的圖景，那麼他教好這門課的可能性就大得多。舉例來說，美國當代著名數學家格列菲斯（Griffiths） 就是因為有幸遇到了這樣一位出色的高中數學教師而對數學發生興趣並最終走上了職業數學家的道路（見本文標題下的第二段引用），在另一個場合，他這樣說道（見【8】的結尾部分）：

在當今世界，科學知識尤為重要。許多工作都要求具備定量的、分析的技能。科學所教給你的事實就是實事求是（evidence- based reasoning）的精神，而我們正是在這一點上失敗了。要成為本國的好公民，你需要對科學有一般的認識。

看看進化論的爭辯、看看新聞和報紙上的種種資料，你會發現：事實上，對於進化論的大意以及如何理解新聞報紙上的資料，許多人連最模糊的觀念都沒有。造成這一問題的部分原因在於中小學的教學。教學體系的教師主要來自於教育院校。他們更多地停留在教學技能的層面而並沒有深入到教育的本質部分。一個數學教師，哪怕是一個小學數學教師，都應該對這個科目有一個碩士水平的瞭解。唯有具備瞭如此深刻的瞭解，你才能用一種簡單的方式更好地去教初等的內容。否則， 你可能會弄得不必要地過分複雜。威爾遜（Wilson）夫人，我的第一個數學教師，絕對是一個富有天分的數學家，這一點使她成為一個偉大的教師。

格里菲斯是幸運的，但幸運往往只屬於少數人。事實上，好的數學教師並不多見。讓我們來看看世界著名 的“雜交水稻之父”

我在學習方面喜歡憑興趣，從小學到中學直到大學都是這樣：對喜歡的功課，就特別注意聽講，還讀這方面的參考書，成績就很好；不喜歡的，就考 60 分，只求及格就行。我喜歡地理、外文，化學我也喜歡， 我考試就拿高分。我最不喜歡數學，得 60 分就心滿意足。記得當時學“負數乘以負數得正數”時，我很不理解，說正數乘以正數得到的是正數，這還好理解，為什麼負數乘以負數也得正數？我就問老師為什麼， 老師不講，只要我呆記。我不懂，那怎麼呆記呢？要講道理呀！從此我便對數學不感興趣了。

可以想見，像袁隆平一樣，絕大部分學生遇見這樣的教師唯有“敢怒不敢言”（正如伍教授在做報告時所說的）。長此以往，學生不僅會泯滅對數學的興趣，甚至會喪失對教師的信任。可以說，學生學不好數學，教師應負大部分的責任。再來看袁隆平的例子，事實上， 不懂“負負得正”的中小學生何止他一個，最有趣的一個例子居然是後來成為大數學家的吳文俊先生，這也是袁隆平透露給我們的（見【27】）：

記得有一件十分有趣的事，就是這次到北京，中央電視臺對我和吳文俊先生做一個專訪。這是我們兩人頭一次見面，但卻是一見如故，相談甚歡。……我說起小時候數學成績不好，初中時向老師提問為什麼“負負得正”，到現在還是沒有弄清楚。吳老聽後大笑起來。後來聽說，原來他老先生在中學時對“負負得正”也是很不理解的。結果呢，他知難而進，成了大數學家。

由此可見，“負負得正”的問題絕非個人案例。事實上，《數學家講解小學數學》第 29 章（這一章的標題就是負負得正）開篇的一句就是：“可以說，在中小學數學中，學生問得最多的問題就是負負得正的問題。” 據筆者所知，這個問題不僅僅是學生的問題，也是許多中小學數學教師的問題：他們根本無法向學生解釋清楚為什麼“負負得正”。

2.2 教材方面的問題

伍教授指出的第二個問題是中小學數學教材中存在的各種問題：基本概念缺乏清晰的定義、數學推理論證含糊不清、數學符號的使用不恰當、內容設置缺乏整體的把握等。伍教授在【29】中說道，“中小學課本不及格，幾乎完全不是數學。……美國的中小學課本幾乎沒有定義，2 除以 3 弄不清，分數學不了，數學的基本精神沒有了。”同樣的問題也暴露在大陸的中小學數學教材中。事實上，早在 1980 年代，著名數學家

其次，要做好教材的編寫工作。教材是進行教學的工具。……我把美國、德國、俄國、日本等國家的中學數學和理科課本翻閱了一遍，覺得有些地方值得借鑑。現在， 我國中學數學和理科教材，比較重視基礎知識和基本技能，注重啟發學生的智力和培養學生的能力，這是好的。但是，有些內容陳舊，需要更新；有些內容濃縮、跳躍， 如中學代數，把幾何、三角混合編排；不少教師反映，按這樣的順序講課不習慣。因此，編寫教材也要廣泛地徵求中小學教師和科研部門專家的意見和建議，進行適當修改，編出一套比較理想的教材。

2.3 師資培訓方面的問題

當然，對於教師和教材中出現的問題，我們不能簡單地將責任全部推卸給教師與編者，而是要追究到他們所接受的教育上。伍教授指出（見【29】）：“不論是職前的還是在職的對中小學教師的師資培訓，到目前為止，常常文不對題，教師們學到的數學與他們教的數學離題萬里。”如果教師自身所接受的培訓不完善不合理、甚至帶有根本性的錯誤，那麼他們誤人子弟就在所難免了。

首先，職前的師資培訓，也就是大學裡為師範生所開設的課程，通常只涉及高等數學，如微積分、線性代數、解析幾何、抽象代數等等。這些課程講解的都是正確的數學知識，具有完整的理論體系，強調精確的邏輯推理，有助於教師更深刻地理解數學。但是， 未來的教師不僅要了解高等數學，更要學會給中小學生講解他們聽得懂的(acceptable) 初等數學。我們仍用“負負得正”來說明。假定我們的出發點是分配律，那麼“負負得正”就是其必然推論。伍教授在【22】的一篇附錄中提到，在大學水平下，可以對所有的實數給 出一個邏輯嚴密的證明：

我們首先來證明，對於任意實數 x 和 z 都有 (−x)z =−(xz)。注意到如果一個數 A 滿足 w + A = 0，那麼 A = −w。現在如果 A = (−x)z，由分配律意味著 xz + A = xz + [(−x)z] = (x + (−x))z = 0 · z = 0 。所以，事實上有 (−x)z = −(xz)。對於給定的 y， 如果我們令 z = −y， 這就推出(−x)(−y) = −(x(−y))。

現在設 B = (−x)(−y)，要證明 B = xy， 只需要證明 xy − B = 0。這是對的，因為xy − B = xy − [−(x(−y))] = xy + x(−y) = x[y + (−y)] = x · 0 = 0。這就是我們要證明的。

這個證明無懈可擊，但是卻因為太抽象了而難以為中 小學生所理解。作為比較，讀者可以在本文第 3 節找到負負得正的一個初等證明。

再如，兩個分數 和的乘法是 。從抽象代數的立場來看，這個公式完全是一個定義。這個公式使得我們可以在一個整環的分式域上引進乘法結構，確定了 和 的乘積為

由上面兩個例子可以看出，“正確的中小學數學”與“正確的抽象數學”可能有天壤之別。目前在討論中小學數學時，許多師範類專業學生對“數學正確性” 的瞭解，還只停留在“正確的抽象數學”的階段，而對“正確的中小學數學”一無所知。所以，大學裡的師範類數學專業需要設置專門的針對性課程，幫助未來的教師更好地講授初等數學。對此，他打了一個巧妙的比方：拉丁語是法語的起源語言，而且比法語更復雜。 那麼為了造就一名好的小學法語教師，難道讓他們只學習拉丁語就夠了嗎？

此外，大學的數學師範類課程中通常也開設了一 些由教育學方面的教師講授的教學方法類的課程。伍教授認為，這些教育理論確實有必要學習，但更好的辦法應該是，把要教的正確的數學知識融入到這些理論框架中去。這就要求，數學界與教育學界一起合作共同設置合理的課程，確保未來的數學教師既對數學有深刻的理解，又能懂得如何正確地講授中小學數學。

其次，在職教師的師資培訓也是一項巨大的工程。 多年來，數學師資培訓裡充斥了複雜的教育理論、課堂教學策略、教具使用、教學效果評估等等。這些對於教學固然重要，但最重要的還應當是所講授的知識本身：要確保教的是正確的數學。許多在職的數學教師多年積累下來的教學經驗大多是基於不合理的數學（參見本文標題下第三段引言），所以，更有價值的師資培訓應當以正確的數學知識為主要內容。（未完待續）

左起：伍鴻熙教授、林開亮、趙潔、王盼盼（由伍鴻熙夫人Kuniko攝於首師大數學院）

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