自從導數相關知識內容進入高中數學課本以來，如何應用導數有關知識去解決函數的性質(如單調性、極值、最值)、實際應用問題、切線有關等問題，逐漸成為歷年高考數學的熱點之一，深受高考數學命題老師的青睞。
函數作為中學數學重要知識內容之一，可以說貫穿整個數學學習，導數的引入，給我們多了一種解決問題的辦法，成為解決實際問題強有力的工具。
在高考數學中，導數與函數相關的題型較為豐富，解法靈活，也容易“混亂”，這就造成很多學生在解決問題過程中出現一些偏差，致使解題失誤，最終丟失分數。
因此，為了能更好幫助大家學好導數與函數這一重要知識內容，今天我們就一起來講講如何應用導數有關知識去解決函數的單調性。
在導數沒有引入高中數學課本之前，我們解決函數的單調性，一般是利用單調性定義和函數圖象本身去求單調性。按照這種“老方法”解決問題，有它的好處，但遇見一些複雜的函數，很可能就無法利用單調性的定義去順利解決問題，如計算難度太大，無法畫出圖象等等。
因此，當我們應用導數這一工具去解決函數單調性問題，會發現一些難題變得“簡單”，使問題得到順利解決。首先我們一起來看看，應用導數如何去判斷函數的單調性。
函數的單調性：
在(a，b)內可導函數f(x)，f′(x)在(a，b)任意子區間內都不恆等於0.
1、f′(x)≥0⇔f(x)在(a，b)上為增函數．
2、f′(x)≤0⇔f(x)在(a，b)上為減函數．
高考數學，導數與函數的單調性，典型例題分析1：
已知a∈R，函數f(x)＝(－x2＋ax)ex(x∈R，e為自然對數的底數)．
(1)當a＝2時，求函數f(x)的單調遞增區間；
(2)是否存在a使函數f(x)為R上的單調遞減函數，若存在，求出a的取值範圍；若不存在，請說明理由．
通過這樣的一道典型例題，我們可以進一步得到求可導函數單調區間的一般步驟和方法：
1、確定函數f(x)的定義域；
2、求f′(x)，令f′(x)＝0，求出它在定義域內的一切實數根；
3、把函數f(x)的間斷點(即f(x)的無定義點)的橫座標和上面的各實數根按由小到大的順序排列起來，然後用這些點把函數f(x)的定義區間分成若干個小區間；
4、確定f′(x)在各個開區間內的符號，根據f′(x)的符號判定函數f(x)在每個相應小開區間內的增減性。
高考數學，導數與函數的單調性，典型例題分析2：
已知函數f(x)＝－2xln x＋x2－2ax＋a2，其中a>0.
(1)設g(x)是f(x)的導函數，討論g(x)的單調性；
(2)證明：存在a∈(0,1)，使得f(x)≥0恆成立，且f(x)＝0在區間(1，＋∞)內有唯一解．
解：(1)由已知，函數f(x)的定義域為(0，＋∞)，
g(x)＝f′(x)＝2(x－1－ln x－a)，
所以g′(x)＝2－2/x＝2（x－1）/x.
當x∈(0,1)時，g′(x)<0，g(x)單調遞減；
當x∈(1，＋∞)時，g′(x)>0，g(x)單調遞增．
(2)證明：由f′(x)＝2(x－1－ln x－a)＝0，
解得a＝x－1－ln x.
令φ(x)＝－2xln x＋x2－2x(x－1－ln x)＋(x－1－ln x)2
＝(1＋ln x)2－2xln x，
則φ(1)＝1>0，φ(e)＝2(2－e)<0，
於是，存在x0∈(1，e)，使得φ(x0)＝0.
令a0＝x0－1－ln x0＝u(x0)，
其中u(x)＝x－1－ln x(x≥1)．
由u′(x)＝1－1/x≥0知，函數u(x)在區間(1，＋∞)上單調遞增．
故0＝u(1) 即a0∈(0,1)． 當a＝a0時，有f′(x0)＝0，f(x0)＝φ(x0)＝0. 再由(1)知，f′(x)在區間(1，＋∞)上單調遞增， 當x∈(1，x0)時，f′(x)<0，從而f(x)>f(x0)＝0； 當x∈(x0，＋∞)時，f′(x)>0，從而f(x)>f(x0)＝0； 又當x∈(0,1]時，f(x)＝(x－a0)2－2xln x>0. 故x∈(0，＋∞)時，f(x)≥0. 綜上所述，存在a∈(0,1)，使得f(x)≥0恆成立，
且f(x)＝0在區間(1，＋∞)內有唯一解．
導數作為一種重要的數學知識內容，學好導數，用好導數，在我們解決函數有關的問題時候，可以為我們帶來極大的便利，提高解題效率。
同時，函數的單調性是最常考的函數性質之一，可以說是歷年高考數學的必考熱點，我們利用導數的符號來判斷函數的單調性，進而確定函數的單調區間，這是導數的幾何意義在研究曲線變化規律時的一個應用，它充分體現了數形結合的思想。
因此，我們一定要熟記用導數法判斷函數f(x)在(a，b)內的單調性的步驟：
1、求f '(x)；
2、確定f '(x)在(a，b)內的符號；
3、作出結論，依據是f '(x)>0時為增函數; f '(x)<0時為減函數。
特別要注意的是，我們在研究含參數的函數的單調性時，很多時候需要注意依據參數取值對不等式解集的影響進行分類討論。
下面簡單介紹一下利用函數的單調性求參數的取值範圍的解題思路：
1、由可導函數f(x)在區間[a，b]上單調遞增(減)可知f '(x)≥0(f '(x)≤0)在區間[a，b]上恆成立，進而列出不等式.
2、利用分離參數法求解恆成立問題.
3、對等號是否成立進行單獨檢驗，檢驗參數的取值能否使f '(x)在整個區
間上(或該區間的子區間上)恆等於0，若f '(x)恆等於0，則參數的這個值應
捨去;若只有在個別點(有限點)處有f '(x)=0，則參數可取這個值.
高考數學，導數與函數的單調性，典型例題分析3：
已知函數f(x)=ln x,g(x)=ax2/2+2x,a≠0.若函數h(x)=f(x)-g(x)在[1,4]上單調遞減,求a的取值範圍.
解：∵h(x)=ln x-ax2/2-2x,x∈(0,+∞),
∴h'(x)=1/x-ax-2.
∵h(x)在[1,4]上單調遞減,
∴當x∈[1,4]時,h'(x)=1/x-ax-2≤0恆成立,
即a≥1/x2－2/x恆成立,令G(x)=1/x2－2/x,
則a≥G(x)max,G(x)=（1/x－1）2-1.
∵x∈[1,4],所以1/x∈[1/4,1],
∴G(x)max=-7/16(此時x=4),
∴a≥-7/16.
利用導數去求解函數單調性，可以使問題變得既簡便又有效，簡潔解題方法的出現也可以調動學生的學習興趣，加深大家對數學知識的理解和消化，通過一題多解，多種解題方法相互交叉應用，可以培養學生思維能力，提高學習效率。
最後記住利用導數求函數的單調區間的兩個方法，方法一:
1、確定函數y=f(x)的定義域；
2、求導數y'=f '(x)；
3、解不等式f '(x)>0，解集在定義域內的部分為單調遞增區間；
4、解不等式f '(x)<0，解集在定義域內的部分為單調遞減區間。
值得注意：寫單調區間時，同增(減)區間不能用“∪”連接。
利用導數求函數的單調區間方法二:
1、確定函數y=f(x)的定義域；
2、求導數y'=f '(x)，令f '(x)=0，解此方程，求出在定義域內的一切根；
3、把函數f(x)的間斷點(即f(x)的無定義點)和上面所求的各根按由小到
大的順序排列起來，然後用這些點把函數f(x)的定義域分成若干個小區間；
4、確定f '(x)在各個區間內的符號，根據符號判定函數在每個區間內的單
調性。
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