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一、問題的提出
18世紀，北歐的哥尼斯堡城，普雷格爾河中間有兩個小島。人們在河兩岸兩個小島上，建了一個公園，並用七座橋，把兩岸和兩個小島連接起來。當時的市民們熱衷於一個遊戲：怎樣才能一次走遍這七座橋，且每座橋只能走過一次，最後又回到出發點。這就是歷史上有名的七橋問題。七橋問題看似簡單，但好多人都試過了，都沒有找到答案。
二、七橋問題的解答
七橋問題傳到彼得堡科學院，著名的數學家歐拉正在那裡工作，之前他因為工作過度勞累而右眼失明。他猜想也許不存在這種走法，歐拉為了證明自己猜想，首先考慮窮舉法，他仔細的把所有可能的走法列成表格，逐一檢查。他發現實在是太困難了，而且窮舉法不適用於橋更多時的情況。因此他放棄了窮舉法。
歐拉改變了他考慮問題的方法。從七橋問題僅僅涉及物體的位置關係，而與路程無關，這一特點出發，聯想到位置幾何學。歐拉用點A、D表示兩個小島，點B、C表示河的兩岸，再用連接兩點的線表示橋，由此得到了一個由四個點和七條線組成的圖形。在這裡，島的大小和橋墩的長短都是無關緊要的，這樣問題就轉化成為一筆畫問題。1736年歐拉在彼得堡科學院做了一做了科學報告，證明了自己的猜想，徹底解決了七橋問題。
三、一筆畫問題。
所謂一筆畫問題，是指什麼樣的圖形可以一筆畫成，筆不離紙，並且每條線只畫一次而不重複。請大家觀察下面的圖形。
這是四個字，在這裡，我們把它看成四個圖形。大家可以試驗幾次，只有“日”字是可以一筆畫出，其餘的幾個都不行。很顯然，像“呂”這種不連通的圖是不可能一筆畫成的。所謂連通的圖，就是這圖中任意兩個頂點，可以用圖中的一些線“連”連起來。但是連通的圖並非都能一筆畫。
畫圖過程實際上是把點和線相隔的排成一串，即頂點——線——頂點——線、……頂點，除起點和終點以外，畫圖中，每一個頂點，如果有一條線進來，必定有一條線出去，每一點應當與偶數條線相連，我們稱這樣的點為偶點。如果起點與終點重合，則這一點也應是偶點。凡是能一筆畫成的圖形，其中奇點（即與奇數條線相連的頂點）個數不能多於兩個。
因此，如果一個由頂點和線組成的圖，滿足以下兩個條件。
- 圖形是連通的。
- 奇點的個數是0或2（奇點的個數是不可能為奇數的）。
那麼這個圖形可以一筆畫成，這個條件實際上是充分必要條件。以上結論是歐拉首先給出的，所以人們也稱之為歐拉路線或一筆畫定理。
有了這個定理，七橋問題就迎刃而解了，大家可以觀察發現，A、B、C、D四個點均為奇點。
四、進一步探討
由七橋問題引出的一筆畫問題，實際上是現代數學中的一個重要學科圖論，歐拉在解決問題中使用的思想方法，正是數學領域中拓撲變換的思想萌芽。
多元視角
不管從哪個為出發點，要一次無重複走完七座橋是沒有可能的。假如用點A表示小島，用點B，C，D分別表示河岸，用連線表示對應的橋樑，那末哥尼斯堡問題就被化成如圖能否一筆畫出的問題。這樣就比較簡易清楚。
顯然A，B，C，D四點都是奇點，因而此圖連線不能一筆畫出。也就是說，要想一次無重複地走遍七座橋是辦不到的。
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哥尼斯堡七橋問題：
為了解決這個問題，歐拉並沒有親自到哥尼斯堡去，而是運用他的智慧，把問題作抽象化、數學化的處理：
將兩岸和小島縮成一個點，將橋化為邊，兩個點之間有邊連接。
將問題轉化成一筆畫成幾何圖形問題。
依據：
如果從某一點出發，到某一點終止，全圖可以一筆畫出，那麼中間每經過一點，總有畫進那點去的一條線和從那點畫出來的一條線，所以除了起點和終點那兩個點以外，圖形中的每個點都應該和偶數條線相連。
然而：
現在圖形中有四個點都和奇數條線相連，其中B、C、D和三條線相連。
A和五條線相連。
這樣圖形當然不可能畫出！
尚老師數學
簡單的說就是一筆畫的問題。大家可以下載一筆畫的小遊戲玩玩體會一下。
就是想一筆畫下來，就是奇數點不能超過兩個。
都是偶數點可以隨便畫，反正是能畫下來。
兩個奇數點，只能從奇數點到另一個奇數點。
只有一個奇數點的圖像好像不存在吧。一個線段就是兩個奇數點。
