我們知道以下前n項自然數平方和的計算公式：
有很多關於這個公式的證明方法，比如數學歸納法、待定係數法、裂項相消法等。今天介紹兩個數形結合的方法。
方法一
我們知道前n項自然數的和
於是
這是巧合嗎？
把左邊平方和拆開，乘法拆成加法，寫成
第一行1個數，第二行2個數，第三行3個數，...，第n行n個數，這樣一共（1+2+3+...+n)=n(n+1)/2 個數相加。
簡記為一張三角形圖：
逆時針旋轉120°，得到
再逆時針旋轉120°，又得到
對上面三個三角形，相同位置處的三個數對應相加，其和恰為定值（2n+1)，即：
於是
方法二
立體的看，平方和就是下面所有方塊的體積和：
堆起來，就是
類似地，取三堆相同的
然後再堆起來
最上面一層的方塊，從中間切開，拼到缺的那部分，就得到一個三邊分別為n+1/2,n,n+1的長方體：
於是總體積
當然，第二種方法也可以取6堆，直接拼成一個三邊分別為2n+1,n,n+1的長方體。
殊途同歸。
最後附贈一個自然數立方和的圖解：
來自B站視頻ThinkTwice