佯謬和悖論在英語中只有一個詞：paradox，而在中文中這兩個詞的意思稍有不同，看起來中國人腦袋中的彎彎較之西人的確是多了一些。筆者喜歡中文這兩個詞的微妙區別，用它表明物理佯謬與數學悖論之不同恰到好處，儘管許多時候被人們交叉使用。
中文中的“悖論”，一般指因為數學定義不完善，或邏輯推理之漏洞而導出了互為矛盾的結果。比如著名的“理髮師悖論”。
傳說有一個理髮師，將他的顧客集合定義為城中所有“不給自己理髮之人”。但某一天，當他想給自已理髮時卻發現他的“顧客” 定義是自相矛盾的。因為如果他不給自己理髮，他自己就屬於“顧客”，就應該給自己理髮；但如果他給自己理髮，他自己就不屬於“顧客”了，但他給自己理了發，又是顧客，到底自己算不算顧客？該不該給自己理髮？這邏輯似乎怎麼也理不清楚，由此而構成了“悖論”。
理髮師悖論實際上等同於羅素悖論，英國哲學家及數學家羅素（Bertrand William Russell，1872年-1970年）提出的這個悖論當時在數學界引起軒然大波，或者稱之為引發了第三次數學危機，因為那時的數學家們正在慶幸康託（G. Cantor, 1845年-1918年）的“集合論”解決了數學的基礎問題，沒想到這個作為基礎之基礎自身裂了一條大口。
數學的三次危機都可以說是與悖論聯繫在一起。第一次數學危機可追溯到古希臘時代的希帕索斯悖論，起因於研究某些三角形邊長比例時發現的無理數，洩漏這個“怪數”的學者希帕索斯（Hippasus，大約公元前500年）被他的同門弟子扔進大海處死。第二次危機則與芝諾悖論及貝克萊悖論有關，基於對無窮小量本質的研究，它的解決為牛頓、萊布尼茨創建的微積分學奠定了基礎。因為畢達哥拉斯學派在淹死了希帕索斯之後，對錯誤有所認識，被迫承認了無理數，並提出單子，有點類似“極小量”的概念。不過，這個做法卻又遭到了詭辯數學家芝諾一派的嘲笑，編出一個快跑運動員阿格里斯永遠也追不上烏龜的“芝諾悖論”，令歷代數學家們反覆糾結不已。牛頓發明微積分之後，雖然在實用上頗具優勢，但理論基礎尚未完善，貝克萊等人便用悖論來質疑牛頓的無窮小量，將其稱之為微積分中的“鬼魂”。
因為前兩次數學危機的解決，建立了實數理論和極限理論，最後又因為有了康託的集合論，數學家們興奮激動，認為數學第一次有了 “基礎牢靠”的理論。
然而，當初康託的集合論對“集合”的定義太原始了，以為把任何一堆什麼東西放在一起，只要它們具有某種簡單定義的相同性質，再加以數學抽象後，就可以叫做“集合”了。可沒有想到如此“樸素”的想法也會導致許多悖論，羅素悖論是其一。因此，這些悖論解決之後，人們便將康託原來的理論稱為“樸素集合論”。
實際上，集合可以分為在邏輯上不相同的兩大類，一類（A）可以包括集合自身，另一類（B）不能包括自身。可以包括自身的，比如說，圖書館的集合仍然是圖書館；不能包括自身的，比如說，全體自然數構成的集合並不是一個自然數。
顯然一個集合不是A類就應該是B類，似乎沒有第三種可能。但是，羅素問：由所有B類集合組成的集合X，是A類還是B類？如果你說X是A類，則X應該包括其自身，但是X是由B類組成，不應該包括其自身。如果你說X是B類，則X不包括其自身，但按照X的定義，X包括了所有的B類集合，當然也包括了其自身。
總之，無論把X分為哪一類都是自相矛盾的，這就是羅素悖論（Russell Paradox），即理髮師悖論的學術版。
還有一個與樸素集合論有關的悖論，叫做“說謊者悖論” （Liar Paradox），由它引申出來許多版本的小故事。它的典型語言表達為：“我說的話都是假話”。為什麼說它是悖論？因為如果你判定這句話是真話，便否定了話中的結論，自相矛盾；如果你判定這句話是假話，那麼引號中的結論又變成了一句真話，仍然產生矛盾。
反正，上述這兩個悖論導致了一種 “左也不是，右也不是” 的尷尬局面。說謊者悖論中的那句話，無論說它是真還是假都有矛盾；而羅素悖論中的集合X，包含自己或不包含自己也都有矛盾。樸素集合論產生的另一個有趣悖論“Curry’s Paradox”，與上述兩個悖論有點不一樣，它導致的荒謬結論是“左也正確，右也正確”，永遠正確！
我們也可以用自然語言來表述“Curry’s Paradox”。比如，我給出如此一說：
“如果這句話是真的，則馬雲是外星人。”
根據數學邏輯，似乎可以證明這句話永遠都是真的，為什麼呢？因為這是一個條件語句，條件語句的形式為“如果A，則B”，其中包括了兩部分：條件A和結論B。這個例子中，A=這句話是真的，B=馬雲是外星人。
如何證明一個條件語句成立？如果條件A滿足時，能夠導出結論B，這個條件語句即為“真”。
那麼現在，將上述的方法用於上面的那一句話，假設條件“這句話是真的”被滿足，“這句話”指的是引號中的整個敘述“如果A，則B”，也就是說，A被滿足意味著“如果A，則B”被滿足，亦即B成立。也就得到了B“馬雲是外星人”的結論。所以，上面的說法證明了此條件語句成立。
但是，我們知道事實上馬雲並不是外星人，所以構成了悖論。此悖論的有趣之處並不在於馬雲是不是外星人，而是在於我們可以用任何荒謬結論來替代B。那也就是說，通過這個悖論可以證明任何荒謬的結論都是“正確”的。如此看來，這個悖論實在太“悖”了！
以上三個悖論都牽涉到“自我”指涉（self-reference）的問題。理髮師不知道該不該給“自己”理髮？說謊者聲稱的是“我”說的話。“Curry’s Paradox”產生悖論的關鍵是 “這句話” 的語義表達中包括了條件和結論兩者。看起來，將自身包括在“集合”中不是好事，可能會產生出許多意想不到的問題，那麼，如果將自身排除在集合之外，悖論不就解決了嗎？也許問題並非那麼簡單，但總而言之，這些悖論提醒數學家們重新考察集合的定義，為它制定了一些“公理”作為條條框框，從而使得康託的樸素集合論走向了現代的“公理集合論”。
上面淺談的是數學中的幾個簡單悖論，數學中的悖論只和理論自身的邏輯有關，修改理論便可解決。物理中的佯謬除了與理論自身的邏輯體系有關之外，還要符合實驗事實。打個比方說，數學理論的高樓大廈自成一體，建立在自己設定的基礎結構之上。物理學中則有“實驗”和“理論”兩座高樓同時建造，彼此相通相連、不斷更新。理論大廈不僅僅要滿足自身的邏輯自洽，還要和旁邊的實驗大樓統一考慮，每一層都得建造在自身的下一層以及多層實驗樓的基礎之上。因此，在物理學發展的過程中，既有物理佯謬，也有數學悖論，可能還有一些未理清楚難以歸類的混合物產生出來，也許這可算是英語中使用同一個單詞表達兩者的優越性。
前面提到過，數學史上的三次危機以及導致危機的悖論的根源，都與連續和無限有關，都是由無限進入到人的思維領域中而導致思考方法之不同而產生的。第一次是從整數、分數擴展到實數，雖然整數和分數在數目上也有無限多，但本質上仍然有別於（小數點後數字）無限不循環的無理數。第二次危機中的微積分革命導致對“無限小”本質的探討，推導總結髮展了極限理論。第三次危機涉及的“集合”，顯然需要更深究“無限”的概念。
看來，的確如數學家外爾所說：數學是無限的科學。實際上“無限”的概念對物理學和其他科學也至關重要，宇宙有限還是無限？物質是否可以“無限”地分下去？存在“終極理論”嗎？人類思維有極限嗎？我們（細胞數目）有限的大腦，能真正想通“無限”這個問題嗎？就像小狗永遠也學不會微積分那樣，有些東西對我們人類的大腦來說，是不是也可能是永遠無法認知的？
科學研究就是提出和解決悖論佯謬的過程。正如數學史上悖論引發的三次危機，既是危機又是契機，有力地推動了數學的發展，促進了人類的進步。
（摘自《永恆的誘惑：宇宙之謎》，作者：張天蓉）