莊蘇穎
數學中的任何結論或定律若不能在自然界中找到實例，人們就叫這種數學為虛數學。
這個東西是1748年歐拉發現的，至今人們也沒有在自然界中找著一個實例，不過快300年過去了沒有找著實例並不能肯定一定在自然界中沒有實例。
這是廣域費波納契數列通項公式，n∈整數，φ＝0.618…（黃金比例），展開後是：
-∞ ∞…-1 1 0 1 1 2 3 5 8…∞
這裡碰到和上面遇到的同一個問題：
0→無極
1→陰太極
1→陽太極
2→陰陽……
現在問題來了：“0”的左邊是什麼？特別是“-1”在自然界是什麼？
最終這個問題解決靠下面這個恆等式：
引力子＋光子≡中微子
中微子不帶能量，光子帶+h能量，那麼引力子帶-h能量。
結論：-1→引力子。
引力子＋光子≡中微子
-1＋1≡0
這就是歐拉公式的本質。歐拉公式中那個神奇的“i”（虛數單位）居然有化腐朽為神奇的功能。
這是宇宙全景圖：一個泡泡就是一個真空團，真空由光子填充。所有泡泡都漂浮在宇宙大空洞中，空洞由引力子填充。
空洞中沒有一個光子，所以溫度永遠是-273.15℃或0K或絕對零度，空洞叫宇宙冷極，為宇宙中五極（冷極、動極、無極、陰太極、陽太極）之一，空洞就是狄拉克海（the Dirac Sea），如此說歐拉公式本質就是狄拉克海。
1907年時5歲的狄拉克（右二）。
模糊黃金紅
虛數，數學中的一個幽靈！笛卡爾發現虛數出現後，在“直角座標系”上建立了“複平面”，用公式可表示為：z=a+bi。他在《幾何學》（1637年發表）中使“虛的數”與“實的數”相對應，從此，虛數才流傳開來。
歐拉在18世紀引用 i 這個符號——拉丁文“假想”的頭一個字母，來取代表示-1的算術平方根，並一直沿用至今。
歐拉在《微分公式》（1777年）一文中第一次用i來表示(-1)的平方根，首創了用符號i作為虛數的單位。“虛數”實際上不是想象出來的，而它是確實存在的。挪威的測量學家成塞爾（1745—1818）在1779年試圖給於這種虛數以直觀的幾何解釋，並首先發表其作法，然而沒有得到學術界的重視。
虛數的發展，是非常順應人類自然思維的，是一個水到渠成的過程。
一開始，人們發明虛數，就是解決一個問題：
負數無法開方。比如，
x² = 4，則，x = ±2但是，如果：
x² = -4，則，x = ？①這就會產生相當的困擾，因為，在實數範圍內，找不出一個數的平方等於-4。
那怎麼辦呢？
於是，數學家創造了一個神奇的數，叫做i，並定義：
i² = -1i就被稱為虛數單位。
這樣一來，-4可以這麼表示：
-4 = (-1) × 4 = i² × 4那麼，上面的①方程可以寫成：
x² = i² × 4，則，x = ？顯然，
x = ±( √i² × √4 )因此，
x = 2i，或者 x = -2i這樣一來，負數就可以開方了，圓滿的結局。
在人們沒有發現複平面時，人們常常感覺“數不夠用。而現在，數學家們現己經嚴格證明，“一切數”都能在複平面中找到，“數的範圍”不會再超過複數的範圍。
我們的秘密武器：通過類比。我們將會通過觀察它的來源、負數來了解虛數。下面便是你的指南：
*sqrt(n) 指求 n 的平方根
神奇的“虛數i”，到底有什麼用？
德國數學家高斯（1777—1855）在1806年公佈了虛數的圖象表示法，即所有實數能用一條數軸表示，同樣，虛數也能用一個平面上的點來表示。由各點都對應複數的平面叫做“複平面”，後來又稱“高斯平面”。
高斯在1831年，用實數組（a，b）代表複數a＋bi，並建立了複數的某些運算，使得複數的某些運算也象實數一樣地“代數化”。他又在1832年第一次提出了“複數”這個名詞，還將表示平面上同一點的兩種不同方法——直角座標法和極座標法加以綜合。統一於表示同一複數的代數式和三角式兩種形式中，並把數軸上的點與實數一一對應，擴展為平面上的點與複數一 一對應。
高斯不僅把複數看作平面上的點，而且還看作是一種向量，並利用複數與向量之間一一對應的關係，闡述了複數的幾何加法與乘法。至此，複數理論才比較完整和系統地建立起來了。
虛數的引入，大大方便了涉及到旋轉的計算。
比如，物理學需要計算"力的合成"。假定一個力是 3 + i ，另一個力是 1 + 3i ，請問它們的合成力是多少？
根據"平行四邊形法則"，你馬上得到，合成力就是 ( 3 + i ) + ( 1 + 3i ) = ( 4 + 4i )。
這就是虛數加法的物理意義。
如果涉及到旋轉角度的改變，處理起來更方便。
比如，一條船的航向是 3 + 4i 。如果該船的航向，逆時針增加45度，請問新航向是多少？
45度的航向就是 1 + i 。計算新航向，只要把這兩個航向 3 + 4i 與 1 + i 相乘就可以了（原因在下一節解釋）：
( 3 + 4i ) * ( 1 + i ) = ( -1 + 7i )
所以，該船的新航向是 -1 + 7i 。
如果航向逆時針增加90度，就更簡單了。因為90度的航向就是 i ，所以新航向等於：
( 3 + 4i ) * i = ( -4 + 3i )
這就是虛數乘法的物理意義：改變旋轉角度。
虛數在交流電路分析中，就非常有用，虛數可以表示幅度和旋轉角，這正是正弦波的重要參數。
複變函數以“複數為變量”，用於分析函數的規律與變化，其內容豐富，實用性極強，被用於“流體力學”和“航空動力學”，解決了飛機機翼的結構問題。
著名的歐拉公式以“虛i和π的積”做為“自然底數e”的指數，將“複變函數”與“三角函數”聯繫在了一起，這使得“複變函數”也籠罩上了一層神秘的色彩。
數學家稱讚“複變函數”是一種非常和諧的理論，研究它簡直是一種享受。
複數還廣泛的應用於物理學的各個分支，比如在交流電，工程力學中的計算，計算量子力學中的震盪波產生的影響，等等。
如果沒有虛數的話，現代物理學恐怕很難有所進展。物理學家在很多領域都使用虛數進行計算，包括交流電、相對論、訊號處理、流體動力學、量子力學等領域都需要虛數才能有效完成計算工作，甚至就連華麗的分形圖形也都少不了虛數的使用，才能在不斷被放大檢視的圖形中持續產生豐富的細節。
複數問題之所以重要，是因為微觀物理學的大廈是建立在量子力學的薛定諤方程的基礎上的；薛定諤方程的是關於波函數的方程，而波函數是複數！這就是量子力學的核心方程式，偉大的薛定諤寫出來的偉大的薛定諤方程。
從弦理論到量子理論，越深入研究物理的學者，研究內容就越接近純數學，甚至有人說數學“運轉”真實世界 的道理，就像微軟操作系統操作計算機一樣。薛丁格波動方程式：用波動函數與概率描述基本的實在及事件——可以視為我們所寄託之逝基板，而逝基板則建立虛數之上。
說到這，如果你依然無法接受“一個數的平方”等於“-1”，那就默默感嘆一下：科學真是奇(cào)妙(dàn)。 可以說無論如何，至少現在我們比較清楚人類發現複數的意義與價值了。對複數有一個初步的認知，為我們認識這個豐富多彩的大千世界，開設了一個別樣的窗口。
中學數學深度研究
大了去了。下面的解釋不涉及公式理論純粹白話。
虛數並不虛！我們人類發明數字不是吃飽了撐的，“因為自然宇宙本來就存在一些事物，我們人類為了去描述和運用它們，發明了數字和概念去匹配”，簡單來說就是這些東西本來就存在。自然數，整數，分數，有理數無理數到實數是這樣的，虛數也是，是我們研究的對象從一維空間到多維空間的結果。最初接觸虛數從解方程開始，老師教你怎麼解但是並沒有說為什麼，有可能他們也沒弄明白虛數到底咋回事，一個方程代表了一種關係或者一個規律，這個規律是啥有可能可以解釋也有可能我們現在沒法解釋，比如電磁波一般就用一個虛數指數來表示，我們看到的是正弦波，但是實際上是一個圓周運動(目前來說是個二維的，我相信應該更高維)，就是說這個圓周運動本來就是有的，只不過過去人類認知有限，只能在一個時間維度上觀察，後來人類的認知擴展到二維了，於是發明了一種符號和計數方式來表達這個東西，這個符號就是虛數。
所以虛數在物理中有什麼用？我覺得是基礎之一吧！
