今天為大家帶來一個關於數學歸納法、博弈論的邏輯問題——紅眼睛與藍眼睛，本問題最早是澳大利亞華裔數學神童陶哲軒在博客上貼出來供大家思考玩樂的——但實際上，神童的玩樂對我們這種普通人來說就是燒腦……
話不多說，題目如下：
一個島上有100個人，只有兩種眼睛顏色，紅眼睛和藍眼睛，其中5個紅眼睛，95個藍眼睛。這個島上有一些奇怪的規則：
- 島上的人不能通過問別人或者照鏡子等任何方式知道自己眼睛的顏色。
- 一旦有人知道了自己的眼睛顏色，就必須在當天中午自殺。
注意：島民公認島上人的眼睛顏色只可能有兩種，但不知道數量
注意：島民都具有絕對理性思維，且島民絕對服從上述規則
之後的故事就比較有趣了，某個旅行者到了這個島上，雖然知道了這裡的規矩，卻無意間說道：“能在這裡看到和我一樣眼睛顏色的人，真好！”，而這個旅行者，正是紅眼睛。
旅行者覺得，反正這裡有5個紅眼睛的人，每個人都應該知道島上有紅眼睛啊？於是他不以為意，就離開了那個神秘的島嶼。
但是島嶼上的人全都相信了這個人的話，並且在第五天的中午，5個紅眼睛的人全部自殺，而次日的中午，剩下的95個人也全部自殺了。
聽上去有點恐怖是嗎？膽小的人先自動把之前的“自殺”二字換成“當眾飛翔”也許就能專心在題目上了。
那麼言歸正傳，按照正常人的想法，旅行者確實沒有帶去新的信息啊？為什麼會讓原本相安無事的島嶼上的人全部自殺呢？
我們先做這樣一個論斷——
命題P：在這個島上，如果有n個紅眼睛的人，那麼旅行者說過這句話後，在第n天的中午，n個紅眼睛的人就會自殺。
下面，我們就用數學歸納法證明一下這個問題：
1、如果島上只有一個人是紅眼睛，那麼旅行者說了這句話後，這個人立即就可以通過觀察別人的眼睛顏色發現別人都是藍眼睛，從而知道自己是紅眼睛，於是這個人會在第一天中午自殺。n = 1時原命題P成立。
2、若原命題P在n=k時成立，那麼當有k+1個紅眼睛的人的時候，在第k天中午，所有人觀察到沒有人自殺，就知道島嶼上不止有k個紅眼睛的人，而由於每個紅眼睛的人此時都能看到k個紅眼睛的人，因此他們可以確定自己也是紅眼睛，於是在k+1天，所有紅眼睛的人都會自殺。
由1、2可知，原命題P對所有範圍內的自然數成立
如果對上述證明有點看不懂，我們也可以試試看用窮舉法理解：
第一天，由於所有人都能看到大於等於4個紅眼睛的人，因此，不會有人確信自己是紅眼睛，因此無人自殺。
第二天，由於前一天沒有人自殺，所有人都知道紅眼睛不止一個，依舊不確定紅眼睛的人數是否大於4，因此依舊無人自殺。
第三天，由於前一天還是沒有人自殺，所以所有人都知道紅眼睛肯定不止兩個，因為如果只有兩個人紅眼睛，那麼在第二天知道了紅眼睛不止一個後就應當自殺。但是依舊不能確定紅眼睛的人數是否大於4，依舊無人自殺。
第四天，同理，所有人都知道紅眼睛肯定不止3個了，但依舊不能確定紅眼睛人數是否大於4，依舊無人自殺。
第五天，由於前一天沒人自殺，所以紅眼睛肯定不止4個，此時紅眼睛的人通過觀察就知道，多出來的那一位是自己，於是第五天所有紅眼睛的人都會自殺。
第六天，由於紅眼睛全部自殺，所以剩下的人都知道自己是藍眼睛了，因此在第六天全部自殺。
怎麼樣？理解了嗎？是不是很有意思？
那麼，旅行者一開始的想法為什麼不對呢？提示：和“公共知識”的概念有關
旅行者有沒有什麼辦法補救自己的錯誤呢？
如果有人在自殺日之前自然死亡，會出現什麼情況呢？
評論區等著大家給出答案！
明天，後天和大後天的晚上9：00我會依次分別揭曉這三個問題的答案
