數學，是一門讓無數人頭疼同時也令一部分人痴狂的學科。關於數學的本質和它的發展圖景，總是讓常人難以琢磨。我們從小學習各種數學概念和定理，長大後有些人可能還會翻翻正經的數學著作。從數學書體例的安排上，我們直觀的感覺會認為，數學通常是這樣的形象：先定義好一些概念，再建立基本公理體系，最後證明推導出一些數學定理。只要公理前提是正確的，數學知識的大廈就會一點點牢固地建造出來。
然而看似求穩的數學，它的發展並非這種表面印象那樣一直可靠。事實上，雖然不同於物理化學這種經驗科學，依賴實驗和歸納的方式來總結知識，數學依靠的是演繹和證明的思路來發現新知識，因此有的分類稱之為形式科學。但是它們在學科發展圖景卻有很多相似之處，正如物理化學等領域的重大進展是在理論遭遇危機後取得的，數學也有類似的情況。數學並不總是數學家添磚加瓦一點點蓋起來的，有時候舊有的數學體系會被悖論、反常之類的危機擊潰，此後數學家不得不大修大補甚至推倒重建。不過只要能順利解決，整個數學大廈就會變成更加宏偉豪華。
那麼數學的危機和革命通常是如何表現的呢？這裡要先說明下數學學科發展的動力。“危機”一詞有危險和機遇兩層意思，所以對應了數學知識發展的兩種情景，一種是新發現的數學現象與已有的數學體系產生矛盾，或者發現悖論導致原來數學系統無法自洽，於是數學必須進行革命，才能維持自己的合理性；另一種是由於人類社會生活的發展，催生出對新數學知識和工具的巨大需求，而現有的數學難以滿足，於是數學需要進行革新，才能跟上時代步伐。
第一類情況可能是大家比較熟悉的，西方數學史被很多人常提起的三次危機就是這樣，它們分別是“無理數的誕生”、“貝克萊悖論”和“康託、羅素悖論”。比如，古希臘畢達哥拉斯學派的弟子希伯索斯發現了正方形對角線的長度√2是一個奇怪的數，不可公度，這嚴重衝擊了該學派的信仰和當時數學知識的基本概念及公理，希伯索斯也因此成為不受歡迎的人，被學派流放，最後還在海上被仇視的同門給殺害了。至於貝克萊悖論和康託、羅素悖論則是指出了原來數學體系基礎的矛盾處和不嚴謹性。它們都在原有數學體系的內核處造成了危機，所以必然引發深刻的全面的革命。
於是大家看到由於這些數學革命的作用，新的數學概念被引入並逐步被接受，從無理數到後來的負數、虛數和超限數等，極大地豐富了數學王國的建築材料；同時為了消融各種悖論，數學家們對數學基礎進行徹底革命，把不穩定的因素去除，得到更堅固的數學大廈。
而第二類變革情況，在近現代社會表現更為顯著。早期人類生產力比較低下，主要是農業、建築業和天文占卜需要代數幾何來幫助測量和計算，隨著各行各業的快速發展和資本主義制度的催化，大量領域提出對數學更高的要求，比如16-17世紀的歐洲，力學、天文學、物理學、化學和生物學實現突破性發展，直接促進了數學的變革，最終在17世紀下半葉由牛頓和萊布尼茨結出微積分的果實；再如，現代信息社會的基礎——計算機，某種意義上也是數學革命的產物，由於現代社會人類知識的爆炸式增長，巨大的計算量無法由傳統數學工具提供，逼得人們發明出電子計算機。
事實上，如今在最前沿量子物理領域，數學也被物理學各種新進展所啟發和推動著。比如曝光度最高的弦理論這塊，儘管還遠未得到實驗證實，但卻已經先對數學產生深遠影響，與其關聯的數學領域如幾何學、代數學、分析學、拓撲學、表象理論、組合數學及概率論等，如果沒有取得足夠有力的革新進展，是難以完成弦理論艱難的探索任務的。
最後談完數學危機和革命的情況，我們也就增進了對數學本質的理解。通常我們會認為數學研究的是抽象的思維對象，但在理性主義哲學家眼裡，比如笛卡爾，認為數學和邏輯學這類知識，是先於真實經驗而存在的。筆者認為，正如物理化學之類的自然科學麵向的是具體經驗，而數學的研究對象其實是對具體經驗的抽象化理想化的結果。因為真理是多層次的，我們感官直接感知的層次由具體自然科學的理論來闡釋，而抽象的數理邏輯層面就需要數學來把握認識，從這個角度說，經驗是數學的內在生命源泉所在，數學是一門擬經驗的演繹學科，是各類自然科學的基石。
正如馮·諾依曼所說：“數學思想來源於經驗……在距離經驗本源很遠很遠的地方，或者經過多次‘抽象’的近親繁殖以後，一門數學學科就有退化的危險。”
