"一橋飛架南北，天塹變通途。"拱橋、斜拉橋、懸臂橋、懸索橋等風格不同、造型各異的曲線，結構退異的橋體，一座座橋樑宛如一道道靚麗的風景線.橋樑是力與美的展示，它在人類文明進程中發揮了重要作用。
"橋自門前過，河從家中流。" 吳冠中筆下的江南的小橋，不管是石拱橋、木板橋、風雨橋，都有著特有的精緻，它們有的被一筆帶過成了點綴，有的被細緻描繪成了主角。
每每看他的畫時，人們總會不自覺地去尋那一座夢裡小橋，也想親自站在橋上，看水鄉風景，聞潺潺流水，傾聽那小鎮說不完的故事裡，浸潤著的纏綿的愛意……，通過點、線、面的交織輝映，一座座橋流露出意濃情真的靈秀，寄託著吳冠中先生對江南水鄉的濃厚情感.
相對論之父愛因斯坦曾說："數學把我們帶進絕對必要的區域，這個區域不僅是真實世界而且每一個可能世界都一定適合的。"
千百年來，數學總是有意識或無意識地影響繪畫藝術和藝術家。比如比例、黃金分割、射影幾何、高維空間、拓撲變換以及計算機科學等數學思想方法，深刻影響了原始的、古典的、文藝復興時期的超現實主義畫家及其繪畫.
平行線的本質在於傳遞角，過一點恰當地作平行線，是現階段常用的輔助作法，這是為平行線性質或判定的運用創造了條件；而恰當地平移直線，能把分散的條件加以集中。
如圖，若把平面圖形F1上的各點按一定方向移動一定距離得到圖形Ｆ2後，則由F到凡的變換叫平移變換。
平移變換有下列基本性質：
（1）對應線段平行（或共線），且相等。
（2）對應角相等。
例2．如圖，兩地在一條河的兩岸，現要在河上造一座橋MN，橋造在何處才能使從A到B的路徑AMNB最短？（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）
【思考】如果A、B兩地之間有兩條平行的河流，我們要建的橋都是要與河岸垂直的，我們應該如何找到這個最短的距離呢？
【進一步的思考】如果A、B兩地之間有三條平行的河流呢？
【拓展】如果在上述其他條件不變的情況下，兩條河並不是平行，又該如何建橋呢？
請將你的思考在下面準備好的圖形中表示出來，保留作圖痕跡，將行走的路線用粗實線畫出來．
【分析】本題主要考查了應用設計與作圖，利用平移的性質得出橋的位置是解題關鍵。根據修建的橋必須是與河岸垂直的，利用平移的知識，先將在橋上要走的路程放在開始走，然後就可以利用"兩點之間線段最短"了．
【解答】：如圖1所示：從A到B的路徑AMNB最短；
【思考】如圖2所示：從A到B的路徑AMNEFB最短；
【進一步的思考】如圖3所示：從A到B的路徑AMNGHFEB最短；
【拓展】如圖4所示：從A到B的路徑AMNEFB最短．
變式1．（2019秋•南京月考）
基本知識
如圖1，在直線l的兩側分別有點A和B，都要在l上確定一點P，使點P到A、B的距離之和最小，只需連接AB，則AB與l的交點即為所求點P．
初步探索
如圖2 （1）所示，A、B兩個單位分別位於一條封閉式街道的兩旁，現準備合作修建一座過街天橋，那麼橋建在何處才能使由A到B的路線最短？注意，橋必須與街道垂直，橋的寬度不計．請在圖2 （2）中面出天橋的位置，不需說明畫法，保留畫圖痕跡．
舊題重溫
如圖3，村莊A、B在在河流l同側，現欲在同岸邊建一個水泵站P，問水泵站建在何處才能使PA+PB最短．（不需說明畫法，保留畫圖痕跡）
深入探索
如圖4 （1），兩個居民小區A和B在河岸l的同側，現欲在河岸邊建一個長度為s米的綠化帶CD，使C到小區A的距離與D到小區B的距離之和最小．請在圖4 （2）中畫出綠化帶的位置．並寫出畫圖過程．
【分析】初步探索：作AH平行於橋且等於橋的長度，連接BH交街道a於F，作FE⊥街道b於E，線段EF即為所求．
舊題重溫：作點B關於直線l的對稱點B′，連接AB′交直線l於P，連接PB，點P即為所求．
深入探索：作AA′∥直線l，使得AA′＝CD，作點B關於直線l的對稱點B′，連接A′B′交直線l於D，再作出點C，此時AC+BD的值最小．
【解答】：初步探索：如圖EF即為所求的天橋的位置．
舊題重溫 ：如圖，點P即為所求．
深入探索：如圖，點C，點D即為所求．
變式2. 【數學思考】
如圖1，A、B兩地在一條河的兩岸，現要在河上造一座橋MN．橋造在何處才能使從A到B的路徑AMNB最短？（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）
【問題解決】
如圖2，過點B作BB′⊥l2，且BB′等於河寬，連接AB′交l1於點M，作MN⊥l1交l2於點N，則MN就為橋所在的位置．
【類比聯想】
（1）如圖3，正方形ABCD中，點E、F、G分別在AB、BC、CD上，且AF⊥GE，求證：AF＝EG．
（2）如圖4，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝x，點E、F、G、H分別在AB、BC、CD、AD上，且EG⊥HF，設y＝HF/EG，試求y與x的函數關係式．
【拓展延伸】
如圖5，一架長5米的梯子斜靠在豎直的牆面OE上，初始位置時OA＝4米，由於地面OF較光滑，梯子的頂端A下滑至點C時，梯子的底端B左滑至點D，設此時AC＝a米，BD＝b米．
（3）當a＝______米時，a＝b．
（4）當a在什麼範圍內時，a＜b？請說明理由．
【分析】本題考查的是四邊形綜合題，掌握平行四邊形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、勾股定理的應用以及一元二次方程的解法是解題的關鍵，解答時注意銳角三角函數的定義的應用．
【解答】：（1）作BH∥EG交CD於點H．則BH＝EG．
∵AF⊥EG，∴BH⊥AF，∴∠BIF＝90°，∴∠IBF+∠AFB＝90°，
又∵直角△ABF中，∠BAF+∠AFB＝90°，∴∠BAF＝∠IBF，
易證明△ABF≌△BCH，∴AF＝BH，∴AF＝EG；
（2）同理作BM∥EG交CD於點M，作AN∥HF交BC於點N．
同（1）可得∠BAN＝∠MBC，
又∵∠ABN＝∠C，∴△ABN∽△BCM，
∴AN/BM=AB/BC=2/x，又HF＝AN，EG＝BM，∴y＝2/x；
（3）解：∵CO＝4﹣a，DO＝3+b．
∴Rt△DOC中，DC²＝（4﹣a）²+（3+b）²，
即（4﹣a）²+（3+b）²＝5²．
當a＝b時，有（4﹣a）²+（3+a）²＝25，
解得a＝1或a＝0（不合）．故答案為：1；
（4）當0＜a＜1時，a＜b．理由如下：
如圖5，過點B作DC的平行線，過點C作OF的平行線，兩線交於點P，連接AP．
∵CD∥BP，PC∥OF，∴DBPC為平行四邊形，∴BP＝DC，CP＝BD．
又AB＝DC，∴BP＝AB．
∴∠BAP＝∠3+∠1＝∠BPA＝∠4+∠2．
若a＜b，即AC＜BD＝CP，因而在△ACP中，
∵∠1＞∠2，∴∠3＜∠4．
又∵∠5＝∠4，∴∠3＜∠5．
∵Rt△ABO中，sin∠3＝OB/AB=3/5，
同理sin∠5＝OC/CD=(4-a)/5，
∴(4-a)/5＞3/5，解得，0＜a＜1．
例3．（2019秋•江漢區期末）如圖，∠MON＝15°，四邊形ABCD的頂點A在∠MON的內部，B，C兩點在OM上（C在B，O之間），且BC＝1，點D在ON上，若當CD⊥OM時，四邊形ABCD的周長最小，則此時AD的長度是_______．
【分析】本題考查軸對稱最短問題，解直角三角形，兩點之間線段最短等知識，解題的關鍵是學會利用軸對稱解決最短問題，屬於中考填空題中的壓軸題．
【解答】：如圖1中，分別作點A關於直線OM，ON的對稱點A₁，A₂，連接BA₁，DA₂，過點A1作A₁A₃⊥CD於A₃，
由圖可知：AQ＝A₁Q＝A₃C，AB＞AQ，當A，B，A1共線時，AB最短，此時A₃C＝AB，
∵四邊形ABCD的周長＝AB+BC+CD+AD＝A₃C+CD+DA₂+BC＝A₃C+CD+DA₂+1，
∴當A₃，C，D，A₂共線時，四邊形ABCD的周長最短（如圖2中），作AH⊥CD於H．
∵∠MON＝15°，CD⊥OM，∴∠ODC＝90°﹣15°＝75°，
∴∠FDA₂＝∠ODC＝∠ADF＝75°，
∴∠ADH＝180°﹣75°﹣75°＝30°，
故答案為2．
變式1．（2020•新都區模擬）如圖，已知A（3，1），B（1，0），PQ是直線y＝x上的一條動線段且PQ＝√2（Q在P的下方），當AP+PQ+QB取最小值時，點Q座標為_______．
【解答】：作點B關於直線y＝x的對稱點B'（0，1），過點A作直線MN，並沿MN向下平移√2單位後得A'（2，0）連接A'B'交直線y＝x於點Q
如圖
理由如下：∵AA'＝PQ＝√2，AA'∥PQ，
∴四邊形APQA'是平行四邊形．∴AP＝A'Q．
∵AP+PQ+QB＝B'Q+A'Q+PQ且PQ＝√2．
∴當A'Q+B'Q值最小時，AP+PQ+QB值最小．
根據兩點之間線段最短，即A'，Q，B'三點共線時A'Q+B'Q值最小．
∵B'（0，1），A'（2，0），
變式2．如圖，二次函數y＝x2﹣4x的圖象與x軸、直線y＝x的一個交點分別為點A、B，CD是線段OB上的一動線段，且CD＝2，過點C、D的兩直線都平行於y軸，與拋物線相交於點F、E，連接EF．
（1）點A的座標為_______，線段OB的長＝_______；
（2）設點C的橫座標為m
①當四邊形CDEF是平行四邊形時，求m的值；
②連接AC、AD，求m為何值時，△ACD的周長最小，並求出這個最小值．
【分析】本題屬於二次函數綜合題，主要考查了函數圖象的交點座標的計算，兩點間的距離公式，待定係數法求函數解析式以及平行四邊形的性質的綜合應用，解決問題的關鍵是根據平行四邊形的對邊相等以及兩點之間線段最短進行計算求解．解題時注意方程思想和數形結合思想的運用．
例4．（2019秋•金水區校級月考）數與形是數學中的兩個最古老，也是最基本的研究對象，它們在一定條件下可以相互轉化，數形結合就是把抽象的數學語言、數量關係與直觀的幾何圖形、位置關係結合起來，通過"以形助數"或"以數解形"即通過抽象思維與形象思維的結合，可以使複雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而起到優化解題途徑的目的．
數學理性而嚴謹，藝術感性而浪漫.藝術詮釋了數學內涵，使數學變得通俗易懂；數學開拓了藝術蘊含，使藝術變得意味深長.抽象的數學概念，始終是藝術創作的永不枯竭的源泉。
幾何圖形是構成藝術設計的重要元素.抽象的幾何圖形把節奏與韻律、對比與調和、形象與空間、變化與統一等基本法則表現得完美而現代。科學與藝術是不可分割的，就像一枚硬幣的兩面，它們共同的基礎是人類的創造力，它們追求的目標都是真、善、美。
