題目
在△ABC外側做兩個等腰直角三角形△EAB和△FAC. O是邊BC的中點，連接OE、OF，猜想並證明OE、OF之間的關係。
如果大家有什麼更好的方法，歡迎在評論區分享。
解析
線段間常見關係無非兩種。
第一種：位置關係。比如垂直、平行等；
第二種：數量關係。比如長度相等、倍數關係等。
由題目作圖不難猜想：線段OE與OF垂直且相等。
此題的關鍵在於證明。
初中幾何中，常見證明數量關係的方法有全等、相似等。既然這裡猜想兩線段相等，不妨用全等三角形知識來證明。
而位置關係，題目已知了45°、90°兩種特殊角，我們可以通過轉換來求證∠EOF的度數。
思路
根據三角形全等的判定條件來看，我們需要知道幾組對應的邊、角等量關係。但上圖中，一眼看去，似乎沒有任何已知的可利用的等量關係，很明顯需要添加輔助線。
那輔助線怎麼添加？
再次回顧題目，易知在任意△ABC中，有一個特殊點：O為BC的中點。因此，我們可以據此聯想到“中位線”知識，到這一步，後面的就可以順水推舟了。
證明
取邊AB中點G、AC中點H. 連接EG、OG、FH、OH.
在△ABC中，O、G為邊BC、AB中點
∴ OG平行且等於1/2AC ①
在Rt△FAC中，FH為斜邊中線，
∴ FH等於1/2AC ②
求得，OG=FH
同理可求，EG=OH
∵ OG//AC
∴ ∠BGO=∠BAC
∵ OH//AB
∴ ∠OHC=∠BAC
∴ ∠BGO=∠CHO
∵∠EGB=∠FHC
∴ ∠BGO+∠EGB=∠CHO+∠FHC
即∠EGO=∠FHO
在ΔEGO與ΔOHF中
OG=HF
∠EGO=∠FHO
EG=OH
∴ΔEGO≌ΔOHF
∴EO=FO；∠GEO=∠HOF
在ΔEGO中，
∵ ∠GEO+∠BGO+∠GOE=90°
∴ ∠HOF+∠BGO+∠GOE=90°，即∠EOF=90°
證明完畢。
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