昨天，人類史上首張清晰的超級黑洞照片在美國華盛頓、中國上海和臺北、智利聖地亞哥、比利時布魯塞爾、丹麥靈比和日本東京同步發佈。
資料來自：
http://bicmr.pku.edu.cn/~dongbin/Teaching_files/圖像處理中的數學方法-18-19/index.html
https://www.ted.com/talks/katie_bouman_what_does_a_black_hole_look_like?language=en
本文主要探討最近在網絡上得到熱議的黑洞成像背後的算法原理，涉及到優化、機器學習和統計理論相關的知識。內容整理來自@知乎2prime。
圖像處理經常被處理成反問題
考慮正問題
,
是觀測噪聲，反問題就是在有了觀測
的條件下怎麼獲得真實圖片u
如果A是一個恆同算子，反問題就是去燥
如果A是一個模糊，反問題就是去模糊
如果A是一個CT，反問題就是CT恢復
在將算法之前說一下這個問題意義，打個比方你要做核磁共振，你要綁在床上聽著快一個小時噪聲，那麼你就希望
這個算法進行sample 次數變少，那麼如果我算法更厲害，你mri時間會越少。
有人說，這個問題簡單
就好了，那麼如果A不可逆呢？
你說這個也簡單，最小二乘啊
，那麼你就是沒有考慮到
－－觀測噪聲
考慮一個去模糊問題，如果有噪聲，直接求逆結果會是怎麼樣的呢？
噪聲在求逆的時候無數倍的被放大了，產生了棋盤一樣的artifact
那麼怎麼解決問題呢？加入正則項！
這裡的R的作用時
- 如果u不是“圖片”，那麼R值大一點
- 如果u像一張圖片，R的值小一點
數學家就花了很久來構造R，第一個成功的是total variation，定義為
發明這個算法的stan osher教授也獲得了應用數學最高獎 gauss 獎
https://www.math.ucla.edu/news/professor-stanley-osher-receives-highest-honor-applied-mathematics
當年這個算法也幫助LA破獲了一起殺人案
那麼我來介紹這次的算法
對於simulate數據
用了total variation的效果是
參考 project page：
http://vlbiimaging.csail.mit.edu/
為什麼呢，為了達到這個分辨尺度，根據測不準原理，他們需要整個地球半徑的天文望遠鏡。但是事實上我們造不出來這麼大的望遠鏡，只能用九個觀測站點的數據來做。這是一個高度不適定的反問題，那麼需要更好的正則項。
設計正則項他們用到的想法是學習
From Learning Models of Natural Image Patches to Whole Image Restoration
https://people.csail.mit.edu/danielzoran/EPLLICCVCameraReady.pdf
他們用高斯混合模型對圖片patch進行建模，學習出圖片patch的distribution作為上面問題的正則項。
ted talk裡面還將到他們用了多個數據集去學習，用日常圖片，宇宙照片，望遠鏡數據。。學習出來了很多個正則項，發現恢復出來的圖片都是這樣的圖片。
更加深刻一點
其實這種做法和傳統的sparse coding有很大的類似
G. Yu, G. Sapiro, and S. Mallat, Solving inverse problems with piecewise linear estimators:
From Gaussian mixture models to structured sparsity, IEEE Transactions on Image Processing,
21 (2012), pp. 2481–2499.
https://ieeexplore.ieee.org/document/6104390/
好處可能是
- 可以用到外部乾淨數據
- 非凸優化的局部最小值更少
Wipf David, Rao B D, Nagarajan S. Latent variable Bayesian models for promoting sparsity[J]. IEEE Transactions on Information Theory, 2011, 57(9): 6236-6255.
但是上面的分析都是單個gaussian的建模
據我所知用高斯混合模型來建模的理論分析到現在都很難。
順便，這個小姐姐的研究都很有意思
最有名的可能是這個根據牆後的照相機判斷牆後有沒有人
http://people.csail.mit.edu/klbouman/cornercameras.html
