奥数经典竞赛题目讲解第二课，这个解题方法你是否可以熟练应用？这节课继续学习上节课有关周期规律的应用问题。
一、利用周期解决部分余数问题
在讨论周期问题时，常常要提到“余数”。关于“余数”，有几条最基本的性质，同学们是应当掌握的。
【一、加法性质】
若数A和数B被数K除，分别余a和b(A、B、K、a、b均为整数，K≠0)，那么，A加B的和被K除，余数也为a加b的和[若(a+b)＞k，余数则为a+b－k]。
例如：16除以7，余数是2；22除以7，余数是1。那么，(16+22)除以7，余数是2+1＝3。
【二、减法性质】
若数A、数B被数K除，余数分别为a和b(以上各数均为整数，K≠0)，那么，A减去B的差被K除，余数也为a减去b的差(若a＜b，余数则为a+k-b)。
例如：135除以13余数是5；40除以13余数是1。那么，(135－40)除以13，余数是5－1＝4。
又如：233除以11余数是2；61除以11余数是6。那么，(233－61)除以11，余数是2+11－6＝7。
【三、乘法性质】
若数A除以数K，余a(A、K和a都是整数，K≠0)，那么，A的n倍除以数K，余数则为na除以K所得的余数;
若数A和数B被数K除，分别余a、b(以上各数均为整数，k≠0)，那么，A、B的乘积除以K，余数为ab÷k的余数。
例如：15除以13的余数是2。那么15×7的积除以13的余数是2×7÷13，余1。
又如：140除以17，余数是4；90除以17，余数是5。那么140×90的积除以17的余数为4×5÷17，余数为3。
运用以上几条有关“余数”的性质，可以更快速的解一些有趣的题目。
难题点拨①
有一列数如下:4、5、9、14、23……问这列数的第1999个数除以3，余数是几?
解题分析：本题中所说的这类数列被人们称之为“斐波那契”数列，它有一个最明显的特征：从第三个数起，每个数都是它前面两个数的和。
运用前面介绍的“余数”性质，很容易就可推导出它们相应的余数，列表如下：
从周期表上可以看出它们的余数是以“1、2、0、2、2、1、0、1”这八个数为周期循环着的。再通过除式:1999÷8＝249……7，推算出第1999个数所对应的余数在第250个周期中的第七位上，余数为“0”(即这个数恰好能被3整除)。
难题点拨②
七十个数排成一行，除了两头的两个数以外，每个数的3倍恰好等于这个数两边两个数的和。这一行数的最左边几个数是这样写的：0、1、3、8、21、55、144、377……问这行数的最右边一个数被6除余几?
解题分析：这道题目的数量关系非常复杂，在推算它们各个余数的周期时要特别细心。例如，它们的第二、第三两个数除以6的余数分别为1和3，那么第四个数除以6的余数则应为：3×3－1＝8，8－6＝2。再按这个方法依次推算第五个数除以6的余数:2×3－3＝3；第六个数除以6的余数：3×3－2＝7，7－6＝1……
列余数的周期表如下：
经过以上实实在在地推算，才能知道它们的余数是以12个数为周期循环的(这个周期实在有些长)。再列除式推算第70个数所在的位置：
70÷12＝5……10
由此可知第70个数在第六个周期的第10位上，其余数为“4”。
二、推算星期几解题指导
“推算星期几”也是我们小学数学竞赛中最常见的间题之一。
关于“推算星期几”的方法虽然有好几种，但我认为，利用“周期规律”的一些知识去推算它，是最简单、最有力的了。
难题点拨③
今天是星期二，从明天开始算起，数到第100天，这一天是星期几?
解题分析：根据题意作周期示意图如下:
列出除式:
100÷7＝14……2。
由此可知，第100天在“今天”之后的第14个周期后边又2天。仍从周期图上可以看出，它所对应着的是星期四。
答:第100天是星期四。
难题点拨④
1999年4月15日是星期四，问这一年的8月9日是星期几?
解题分析：解答这类由几月几日到几月几日是星期几的题目，首先应推算出这两个日子之间“相隔”着多少天。在推算这个天数时，可采用分段统计法，另外还应注意：计算两个日子间的天数，两头只需算一头。
分段统计如下：
推算出了总天数，再列除式：
116÷7＝16……4
这个算式告诉我们，8月9日在4月15日后的16个星期后又4天。为了直观再画一个示意图：
从这幅周期示意图上可以看出：每个周期中的第4天所对应的是星期一。
答：这年的8月9日是星期一。
难题点拨⑤
1999年11月17日是星期三。请问，这年的2月6日是星期几?
解题分析：这道题目与上一题只有一点点细微的差别，解答它同样要先推算出两个日子间的天数，然后是绘制周期示意图。
在计算这类问题的天数时，为了推算方便、减少差错，仍按上例那样去“顺推”：
再列除式：284÷7＝40……4
这个算式同样告诉我们：2月6日在11月17日之前的40个星期又4天。画这个周期示意图时一定要“倒”着往前画。
仍从周期图上可以看出：每个周期之前的第四天是星期六。
归纳这类问题的解法是：顺推天数，倒画周期。
答：这年的2月6日是星期六。
难题点拨⑥
某年的10月里有5个星期六、4个星期日。问这年的10月1日是星期几?
解题分析：这题与以上几道“推算星期几”的题目不相同，它没有直接告诉“某月某日是星期几”这一具体条件，就使问题变得十分抽象、复杂。
如何解答这道题目呢?请大家想一想摆在桌子上的小小“月历”就很容易理解了。每年的10月都是31天，31÷7＝4(周)……3(天)。这就表示：10月里有4个完整的“星期”，另外还多出了3天。为了满足题目中“有5个星期六、4个星期日”这一条件，剩下的那3天(即29日、30日和31日)就只能分别为星期四、星期五和星期六。
“月历”编排如下图：
画出了“月历”表，一切都明白了。
答：这年的10月1日是星期四。
有关周期规律的应用的较难题目给同学们讲了一些，希望这些内容对你有所帮助。我是小梁老师，下节课见！
