01 概率論的開端
概率論是一門源自生活的學科，但是，直到1654年，帕斯卡和費馬才開始對概率論進行實質性的研究，也標誌著概率論正式的成為了數學的一個分支。
人們最早熟悉和認識到概率是從身邊的等可能事件開始的，比如：拋硬幣，擲骰子等。正因為如此，賭徒對概率論的發展起到了不可磨滅的貢獻。
時間回到1654年，梅內騎士（Chevalier de Méré）是一個資深賭徒。別看他名字裡有騎士，但是他並非出身貴族。梅內騎士是一位作家，喜歡在自己的文字中稱呼自己為梅內騎士（他曾在梅內學習）。久而久之，他的朋友們就稱呼他為梅內騎士了。其中，也包括大數學家帕斯卡。準確的說，帕斯卡和梅內騎士是賭友。
帕斯卡
梅內騎士可能平時輸錢比較多，所以痛定思痛，非常注重賭局問題的思考。他曾經向帕斯卡請教過一些問題，比較出名的是點數問題。
點數問題：
有兩個人A和B對賭，每人各下注32個硬幣，一共64個硬幣。A和B商定，一局遊戲誰贏了誰就記一分。先累計到三分的一方獲勝，贏得所有的硬幣。
梅內騎士的問題是，如果突然發生了一些情況，賭局被迫結束。這時候，A已經贏了兩場，積兩分；B只贏了一場，積一分。那麼，64個硬幣應該怎麼分？
帕斯卡覺得這個問題很有意思。他和自己的朋友費馬（號稱“業餘數學之王”，提出了費馬大定理）進行了多次書信交流，並都給出瞭解答的思路。
02 等可能概型
概率論最先研究的就是等可能概型，如拋硬幣和擲骰子。在可能概型中，所有結果出現的可能性都是相等的。比如說，拋硬幣只會出現正面和反面（別起哄，說可能豎起來），擲骰子只會有1到6六個面。
所有可能結果的結合，概率論中叫樣本空間。每一種結果就是一個基本事件。每個基本事件由於發生的可能性相等，則概率P = 1 / n。其中，n是所有基本事件的個數。
以拋硬幣為例，假設這個硬幣是均勻的。拋硬幣出現正面或者反面的概率都是0.5。這個假設很重要，現實生活中，硬幣或多或少都不規則，出現正反的概率都不會正好是0.5。
硬幣正反面理論值
我們都知道，拋一次硬幣不是出現正面，就是反面。但是，如果拋100次硬幣，正面和反面出現的可能性會怎麼樣變化呢？下面我們利用python做一個動圖。
<code>#作者：逃學博士，轉載請註明出處
head_prob = 0.5
trial_times = 100
head = 0
def get_plot(times):
ax.clear()
global head, head_prob
if random.random() <= head_prob:
head += 1
x = [1, 2]
head_exp_prob = np.round(head/times, 2)
prob_exp_dist = [head_exp_prob, 1-head_exp_prob]
ax.bar(x, prob_exp_dist, width=0.5, color='#00d0a1')
for i in range(len(x)):
ax.text(x=x[i]-0.04, y=prob_exp_dist[i]+0.04, s=np.round(prob_exp_dist[i], 4), size=10)
ax.set_title('試驗概率')
ax.set_ylabel('概率')
ax.set_xticks(x)
ax.set_xticklabels(['正面', '反面'])
ax.set_ylim((0, 1.2))
anim = animation.FuncAnimation(fig, get_plot, frames=list(range(1, trial_times)))
anim.save('flip_coin.gif', writer='pillow')/<code>
100次拋硬幣正反出現概率
當我們連續拋一百次硬幣，正反面出現的概率就非常接近理論值了。同時，這個過程反過來也可以檢驗硬幣是不是均勻，拋硬幣是不是公平。
被動過手腳的硬幣，正面出現概率為0.7
當你統計後發現，拋硬幣正反概率如上圖所示，你就可以自信的說這個硬幣有問題。
不要以為這沒啥用，如果有一點你發現賭場裡的一個骰子出現6的概率特別高，而統計結果證明了你的猜想。那麼，你就可以贏錢了。
03 數學期望
其實，數學期望已經包含在帕斯卡和費馬解決點數問題的思路里了。當時，費馬收到帕斯卡的來信之後，針對點數問題給出瞭如下的解答：
費馬的解答：
費馬想A和B誰先累計到3分就算贏。現在，A積2分，B積1分。也就是說，賭局一定在接下來的兩局之後結束。不管是A贏一局，還是B連贏兩局。
這樣說來，這兩局比賽可能出現的結果是，第一局A贏，第二局也是A贏（雖然第一局A贏，A已經到3分了），記做AA，其他情況是AB，BA，BB，一共四種情況。
費馬想，四種情況中，出現AA，AB和BA這三種情況，都是A贏，只有BB一種情況，B才能贏。那麼，賭局中途結束的話，A應該拿64 * 3/4 = 48個硬幣，B拿16個硬幣。
帕斯卡的解答：
不同於費馬，帕斯卡從另外一個角度給出瞭解答，也隱藏了一個重要的概念：數學期望。
帕斯卡想：接下來的第一局，如果A贏了，則A拿走全部64個硬幣，B拿0個硬幣。如果B贏了，則A和B各積兩分，這時候比較中斷，A和B應該平分硬幣，各拿32個。也就是說，第一局遊戲不管怎麼樣，A一定可以拿32個硬幣。
第二局，A和B誰贏就可以拿走32個硬幣。而A和B的勝率均為50%。那麼，A和B應該平分這32個硬幣。所以，A總共應該拿32 + 16 = 48個硬幣，B拿16個硬幣。
04 擲骰子的數學期望
數學期望反映的是隨機變量平均取值的數學特徵，公式如下。文字表述就是所有可能出現的結果與出現的概率乘積的和。
拿擲骰子舉例，總共可能出現的情況有6種，1到6個數。而每個面出現概率都是1/6。
擲骰子
根據公式，數學期望 = 1/6 * (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = 3.5。 那麼，當我們連續擲骰子兩百次，得到的平均數是不是3.5呢？
200次擲骰子
我們可以看到，在開始的10幾次擲骰子之後，骰子的平均數波動很大。但是隨著擲骰子次數增加，骰子的平均值則趨近3.5了（圖中紅線）。
05 結束語
概率論、數學以及其他任何學科，都是一代一代人的智慧。而我們在學習知識的時候，去了解知識點背後的歷史，這樣對於理解學科的精髓注意良多。
技術的發展以及可以讓我們不用通過大量重複的試驗，而通過編程去可視化知識點了。我們應該多多利用這些工具來幫助學習。
如果你沒有把這個基本的，但有些不那麼自然的基礎數學概率方法變成你生活的一部分，那麼在漫長的人生中，你們將會像一個踢屁股比賽中的獨腿人。這等於將巨大的優勢拱手送給了他人。
—— 查理.芒格
查理.芒格提到了100多種思維模型，而帕斯卡-費馬系統也在其中。最基本的概率論知識同樣蘊含著無窮的魅力。
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