關於“進制”
所謂進制，其實就是一種用少量的有限個數碼來表示無限之數字的一種計數規則。是一種人為定義的帶進位的計數方法。
比如說我們最常用的10進制，就是規定了0,1,2,3,4,5,6,7,8,9這10個數碼，然後用這10個數碼的不同組合來表示任意一個數，基本規則就是“逢十進一”：X9的下一個數就是（X+1）0。再比如，加法，9+5=9+1+4=14，逢十進一。0~9這10個計數符號完全是人為規定，你完全可以取其他符號，比如a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k來作為10進制下的計數符號。中國古代就是用如下不同的算籌擺放方式代表不同的數碼的，其實是一種“五-十進制”。
算籌其實是一種“五-十進制”
計數其實表示了一種帶權的求和形式。比如數字1234，再十進制下其實代表了4×1+3×10+2×100+1×1000，從右往左，每個數碼的權重分別是10^0, 10^1, 10^2, 10^3, ...。在十進制下，每個自然數也都可以唯一地寫成
計算機中採用的數制是二進制，也就是隻有0,1兩個數碼，二進制的計數規則是“逢二進一”：從0開始的整數依次為：0，1，10,11,100，101,110，....同樣地，在二進制下，每個自然數都可以唯一地寫成
類似地，取定任意不小於2的正整數b,在b進制下，每個自然數都可以唯一地寫成
不妨對以上結論的唯一性證明一下：
假設存在自然數N，滿足
首先，我們斷言，兩個表達形式的位數一定相同。也就是k1=k2。
證明如下：
假設k1≠k2, 不妨設k1>k2, 即k1≥k2+1,於是
根據進制的規則，顯然有
對任意數字形式
因為係數an'總是介於0~b-1之間的，所以總有
換言之，
矛盾。
故k1=k2。記為k1=k2=k。類似地，同上面的證明可知，不僅兩個數的位數相等，且最高位上的數碼也相等，也就是
第二步，令
同理，我們有
.....
這樣遞推下去，可以證明an和an'始終相等，故兩種形式完全一致。
從而取定正整數b，每個自然數在b進制下的表達式都是唯一的。
（by 今日頭條：@談數論理）
剛剛說的是正整數，對於小數，就不一定了。舉例來說，學過高等數學的人應該知道如下公式：
這樣，1就有兩種十進制表達：1和0.9循環。事實上，每個在十進制下表現為“有限小數”的數，都有另外一種無限小數的十進制表達形式。
但每個數的”無限小數“的表達形式，都是唯一的。
比如（仍是十進制）：
這種唯一性保證了b進制的合理性。
關於所謂“π進制”
有人突發奇想，進制的底如果取π會怎樣？每個數，是不是都能表示成下面這種關於π的指數求和形式呢？
答案是肯定的 ，π也是一個"普普通通"的實數，任意實數，總能寫成上面的這種關於π的指數求和形式。但問題有兩個：
（1）係數an如何選取？
（2）這種表達形式唯一嗎？
如果只是一種級數求和的形式，當然無所謂這兩個問題，但既然要把π作為計數的基底，那麼必須要對此進行討論。
首先，對第一個問題：係數an怎麼選取？
直觀上，π介於3和4之間，3進制需要0,1,2這三個數碼，4進制需要0,1,2,3四個數碼，所以，π進制應該使用最多不超過4個計數數碼。
如果採用3個，也就是an只能取0,1,2這三個數碼，顯然，對於3π這個數，是不能表示成上面的級數形式的。為了方便起見，我們把小數點前第一位仍然叫做個位，第二位仍然叫做十位，以此類推。
在這種計數下：
剩下的部分是3π-2π-2≈1.14159.....小於π，只能用小數部分實現，但小數部分是不夠用的，因為不超過π的最大小數，是每個小數位都取到最大的數碼2，也就是
簡單來說，就是一個不等式的問題：
所以光靠0,1,2這三個數碼是不夠的，有些數表示不出來。
我們再來看看，如果用0,1,2,3這四個數碼，還會有上面的問題嗎？
沒有了。
每個實數x,都能表示成以下形式
比如剛剛的3π，很簡單，就是3π。
（by 今日頭條：@談數論理）
接下來看第二個問題：這種表達式唯一嗎？找個反例就行。
我們來討論98的“π進制”表達。
首先，注意到以下大小關係
於是一方面，
假設在“π進制”下，
則在“π進制”下，
另一方面，
假設在“π進制”下，
則在“π進制”下，又有
也就是,在所謂“π進制”下，
你們能接受嗎？
（by 今日頭條：@談數論理）
而且可以預見到，如果取一個更大的數，那麼它的π進制的表達式可能有3種，4種甚至100種。
其實也就是一個方程組正整數解的問題：
假設一個數x，滿足
取定x和b，有多少組解{an}？
說到底，本質上，之所以不存在π進制，是因為所謂“逢π進一”的計數規則根本實現不了。從3到4，肯定需要“進一”的，但你逢到π了嗎？計數數碼選擇了0,1,2,3，根本實現不了“逢π進一”這一最基本的要求！基底選擇一個小數，而計數數碼是整數，這種不匹配導致進位或退位時總會有一些尾巴殘留，這些殘留導致不同的基底指數組合形式之間不再“涇渭分明”、相距甚遠，而是有了重合。在這種重合下，有些數就可能對應到不同的求和形式，使得它們的表達形式不唯一。
同樣的道理，沒有1.5進制，沒有根號2進制，沒有e進制。
進制的底只能是不小於2的正整數。
感興趣的話，不妨可以挑幾個例子自己證明一下，比如根號2進制，看起來就很有趣嘛~~
（by 今日頭條：@談數論理）
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