二次函數的圖象
二次函數解析式的三種形式
1、一般式：y = ax2 + bx + c （ a , b , c 為常數，a ≠ 0 ）；
2、頂點式：y = a（ x - h ）2 + k （ a , b , c 為常數，a ≠ 0 ）；
3、兩點式：y = a（ x - x1 ）（ x - x2 ）（ a ≠ 0 ）.
平行四邊形的判定方法及性質
平行四邊形
1、平行四邊形的判定方法
定義：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；
定理 1：兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；
定理 2：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；
定理 3：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；
定理 4：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形 .
2、平行四邊形的性質
性質 1：平行四邊形的鄰角互補，對角相等；
性質 2：平行四邊形的對邊平行且相等；
性質 3：平行四邊形的對角線互相平分.
二次函數中平行四邊形的存在性問題
二次函數中平行四邊形的存在性問題
學習目標：
1、會用分類思想討論平行四邊形的存在問題；
2、會用數形結合的思想解決綜合性問題.
重點：分類討論平行四邊形的存在性；
難點：數形結合思想及畫圖.
一、知識回顧（儲備）
1、線段的中點座標公式
線段的中點座標公式
在平面直角座標系中，有任意兩點 A、B，若點 A 座標為 (x1，y1)，點 B 座標為 (x2，y2)，
則線段 AB 的中點 P 的座標為 (（ x1 + x2 ）/ 2 , （ x1 + x2 ）/ 2 ) .
2、知識拓展與應用：
思考：在平面直角座標系中，□ABCD 的頂點座標分別為 A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)、D(x4,y4)，
已知其中 3 個頂點的座標，如何確定第 4 個頂點的座標 ？
引例：如圖，已知 □ABCD 中 A (-2，2)，B (-3，-1)， C (3，1)，則點 D 的座標是 (4，4) .
利用中點公式分析： ( x1 + x3 ）/ 2 = ( x2 + x4 ）/ 2 , ( y1 + y3 ）/ 2 = ( y2 + y4 ）/ 2 .
結果化簡可以化為 “ 對點法 ” 的形式 : x1 + x3 = x2 + x4 , y1 + y3 = y2 + y4 .
二、對點法（ 數學方法 ）
如圖，在平面直角座標系中，□ABCD 的頂點座標分別為 A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)、D(x4,y4)，
則這 4 個頂點座標之間的關係是什麼？
結論：x1 + x3 = x2 + x4 ，y1 + y3 = y2 + y4 .
平面直角座標系中，平行四邊形兩組相對頂點的橫座標之和相等，縱座標之和也相等．
三、典例學習（ 三定一動 ）
【例1】如圖，在平面直角座標系中，已知 A (-1，0)，B (1，-2)， C (3，1)，點 D 是平面內一動點，
若以點 A 、B 、 C、 D 為頂點的四邊形是平行四邊形，則點 D 的座標是 ______.
分析：設點 D（x，y），
① 點 A 與點 B 相對：
-1 + 1 = 3 + x，0 - 2 = 1 + y；x = -3，y= -3 ，此時 D2（-3，-3）；
② 點 A 與點 C 相對：
-1 + 3 = 1 + x，0 + 1 = -2 + y；x = 1，y = 3，此時 D1（1，3）；
③ 點 A 與點 D 相對：
-1 + x = 1 + 3，0 + y = -2 + 1；x = 5，y = -1，此時 D3（5，-1）；
綜上所述：點 D 的座標是 (-3,-3)，(1,3)， (5,-1) .
說明：（ 細節 ）
若題中四邊形 ABCD 是平行四邊形，則點 D（1，3），與四個點為頂點的四邊形是平行四邊形不同.
四、問題解決
【例題2】已知，拋物線 y = - x2 + x +2 與 x 軸的交點為 A、B，與 y 軸的交點為 C，點 M 是平面內一動點，若以點 M、A、B、C 為頂點的四邊形是平行四邊形，請寫出點 M 的座標．
解析：（ 三定一動 ）
先求出 A( -1,0 )，B ( 2,0 )，C( 0,2 )，設點 M（x，y），
① 點 A 與點 B 相對：
M3（1，-2）；② 點 A 與點 C 相對：M2（-3，2）；
③ 點 A 與點 M 相對：M1（3，2）；
綜上所述：點 M 的座標是 M1（3，2），M2（-3，2），M3（1，-2）.
【例題3】如圖，平面直角座標中，y = - 0.25x2 + x 與 x 軸相交於點 B (4，0)，點 Q 在拋物線的對稱軸上，點 P 在拋物線上，且以點 O、B、Q、D 為頂點的四邊形是平行四邊形，寫出相應的點 P 的座標 .
解析：（ 兩定兩動其中一點為半動點 ）
已知 B (4，0)，O（0，0），設 Q ( 2, a )，P ( m, -0.25m2 + m ).
① 點 B 與點 O 相對：m = 2，a = -1；P1（2，1）；
② 點 B 與點 Q 相對：m = 6，a = -3；P2（6，-3）；
③ 點 B 與點 P 相對：m = -2，a = -3；P3（-2，-3）；
綜上所述：P1（2，1），P2（6，-3），P3（-2，-3）.
【例題4】如圖，平面直角座標中，y = 0.5x2 + x - 4 與 y 軸相交於點 B (0，-4)，點 P 是拋物線上的動點，點 Q 是直線 y = - x 上的動點，判斷有幾個位置能使以點 P、Q、B、O 為頂點的四邊形為平行四邊形，寫出相應的點 Q 的座標.
解析：（ 兩定兩動 ）
已知 B (0，-4)，O（0，0），設 P ( m, 0.5m2 + m - 4 )，Q ( a, -a ).
① 點 B 與點 O 相對：a1 = 4 , a2 = 0 （ 舍 ）；
② 點 B 與點 P 相對：a = -2 ± 2√5 ;
③ 點 B 與點 Q 相對：a1 = - 4 , a2 = 0 （ 舍 ）；
綜上所述：
Q1（ -2 + 2√5 ，2 - 2√5 ），Q2（-2 - 2√5 ，2 + 2√5 ），Q3（-4，4）, Q4（ 4，-4 ）.
五、總結
“ 對點法 ”，需要分三種情況，得出三個方程組求解，動點越多，優越性越突出！
從“幾何” 的角度解決問題的方法，能夠使問題直觀呈現，問題較簡單時，優越性較突出！
“數無形時不直觀，形無數時難入微”，數形結合是一種好的解決問題的方法！
六、作業（略）。
閱讀更多 尚老師數學 的文章
