計算機組成原理（原碼、反碼、補碼）

上一期我們講述了進制數及轉換，這一期我們來了解計算機

原碼、反碼和補碼，本期內容重點是補碼。

引入這三種編碼的原因是什麼？

是為了解決計算機減法問題，因為CPU運算器中只有加法器，所有要把減法轉換加法來運算；

那麼你可能會問，怎麼不加個減法器呢？

其實這樣除了節約成本外，比如：1-1=1+（-1）=0機器可以只有加法而沒有減法，這樣計算機運算的設計也就更加簡單。

為什麼用補碼進行存儲？

簡單介紹機器數，真值，原碼和反碼的背景。

1、機器數

一個數在計算機中的二進制表示形式, 叫做這個數的機器數。機器數是帶符號的，在計算機用一個數的最高位存放符號, 正數0，負數為1。

比如，十進制中的數 +3 ，計算機字長為8位，轉換成二進制就是0000 0011。如果是 -3 ，就是 1111 1101 。那麼，這裡的 00000011 和 1111 1101 就是機器數。 機器數包含了符號和數值部分。

2、真值

因為第一位是符號位，所以機器數的形式值不等於真正的數值

例如上面的有符號數 1111 1101，其最高位1代表負，其真正數值是 -3 而不是形式值253（1111 1101按無符號整數轉換成十進制等於253）。

所以，為區別起見，將帶符號位的機器數對應的真正數值稱為機器數的真值。

例：0000 0001的真值 = +000 0001 = +1，1000 0001的真值 = –0111 1111 = –127；這裡所說的比如-3二進制代碼為10000011，就是我們計算機裡面對-3表示的原碼碼。下面介紹原碼

在計算機內，有符號數有3種表示法：原碼、反碼和補碼。

最高位表示數的符號，其他位表示數值

無符號數：值：255 （最小值 0）到（255最大值）（正0）

有符號數：值：127 （最小值-128）到（127最大值）（負1）

3.原碼

概念：正數的原碼等於本身，顧名思義原碼就是原來的數

·例：

【+7】原=00000111B 【-7】原=10000111B

【 +表示0 7——0表示符號位正——計算機字長是8位所以中間補夠8位0000——7二進制表示111——B代表這個數是二進制數】

8位二進制可表示[1111 1111, 0111 1111]，即[-127, 127]

4.反碼

·概念：正數的反碼等於本身

例如：

【+7】原00000111B

【+7】反=00000111B

概念：負數的反碼是由其原碼的

符號位不變，其餘位按位取反

原碼：【-7】原=10000111B

反碼：【-7】反=11111000B

5.補碼

概念：正數的補碼等於本身

儘管C標準並沒有指定某種有符號數的表示，但是幾乎所有的機器都使用二進制補碼。

【+7】原=00000111B【+7】補=00000111B

概念：負數的補碼是有其原碼的符號位不變，其餘位按位取反，在最低位加1

例如：

原碼：【-7】原=10000111B

補碼：【-7】補=11111001B

什麼是二進制的補碼？

補碼錶示法概念：正數的補碼與負數的補碼一致，負數的補碼符號位為1，這位1即是符號位也是數值位，然後加1

模的概念：把一個計量單位稱之為模或模數。

理解補數“模”的概念，這會幫助你加深理解這三碼轉換的數學原理

例如，時鐘是以12進制進行計數循環的，即以12為模。

在時鐘上，時針加上（正撥）12的整數位或減去（反撥）12的整數位，時針的位置不變。14點鐘在捨去模12後，成為（下午）2點鐘（14=14-12=2）。從0點出發逆時針撥10格即減去10小時，也可看成從0點出發順時針撥2格（加上2小時），即2點（0-10=-10=-10+12=2）。因此，在模12的前提下，-10可映射為+2。由此可見，對於一個模數為12的循環系統來說，加2和減10的效果是一樣的；因此，在以12為模的系統中，凡是減10的運算都可以用加2來代替，這就把減法問題轉化成加法問題了（注：計算機的硬件結構中只有加法器，所以大部分的運算都必須最終轉換為加法）。10和2對模12而言互為補數。同理，計算機的運算部件與寄存器都有一定字長的限制（假設字長為16），因此它的運算也是一種模運算。當計數器計滿16位也就是65536個數後會產生溢出，又從頭開始計數。產生溢出的量就是計數器的模，顯然，16位二進制數，它的模數為2^16=65536。在計算中，兩個互補的數稱為“補碼”。比如一個有符號8位的數可以表示256個數據，最大數是0 1 1 1 1 1 1 1（+127），最小數1 0 0 0 0 0 0 0 （-128）；那麼第255個數據，加2和減254都是一樣的效果得出的結果是第一個數據 ，所以2和254是一樣的效果。對於255來說2和254是互補的數。

負數在計算機中如何表示？

舉例來說，+8在計算機中表示為二進制的1000，那麼-8怎麼表示呢？

很容易想到，可以將一個二進制位（bit）專門規定為符號位，它等於0時就表示正數，等於1時就表示負數。比如，在8位機中，規定每個字節的最高位為符號位。那麼，+8就是00001000，而-8則是10001000。

但是，隨便找一本《計算機原理》，都會告訴你，實際上，計算機內部採用2的補碼（Two’s Complement）表示負數

求一個正數對應補碼是一種數值的轉換方法，要分二步完成：

第一步

每一個二進制位都取相反值，即取得反碼；0變成1，1變成0。比如，00001000的反碼就是11110111。

第二步

將上一步得到的反碼加1。11110111就變成11111000。所以，00001000的二進制補碼就是11111000。也就是說，-8在計算機（8位機）中就是用11111000表示。

不知道你怎麼看，反正我覺得很奇怪，為什麼要採用這麼麻煩的方式表示負數，更直覺的方式難道不好嗎？

二進制補碼的好處

計算機內部用什麼方式表示負數，其實是無所謂的。只要能夠保持一一對應的關係，就可以用任意方式表示負數。所以，既然可以任意選擇，那麼理應選擇一種用的爽直觀方便的方式。

二進制的補碼就是最方便的方式。它的便利體現在，所有的加法運算可以使用同一種電路完成。

還是以-8作為例子。假定有兩種表示方法。

一種是直覺表示法，即10001000；另一種是2的補碼錶示法，即11111000。請問哪一種表示法在加法運算中更方便？隨便寫一個計算式，16 + (-8) = ?16的二進制表示是 00010000，所以用直覺表示法，加法就要寫成：

０００１００００

＋１０００１０００原碼形式-8

－－－－－－－－－

１００１１０００

可以看到，如果按照正常的加法規則，就會得到10011000的結果，轉成十進制就是-24。顯然，這是錯誤的答案。也就是說，在這種情況下，正常的加法規則不適用於正數與負數的加法，因此必須制定兩套運算規則，一套用於正數加正數，還有一套用於正數加負數。從電路上說，就是必須為加法運算做兩種電路。所以用原碼錶示負數是不行的。

現在，再來看二進制的補碼錶示法。

０００１００００

＋１１１１１０００補碼形式-8

－－－－－－－－－

１００００１０００

可以看到，按照正常的加法規則，得到的結果是100001000。注意，這是一個9位的二進制數。我們已經假定這是一臺8位機，因此最高的第9位是一個溢出位，會被自動捨去。所以，結果就變成了00001000，轉成十進制正好是8，也就是16 + (-8) 的正確答案。這說明了，2的補碼錶示法可以將加法運算規則，擴展到整個整數集，從而用一套電路就可以實現全部整數的加法。

二進制補碼的本質，本質是用來表示負整數的

在回答二進制補碼為什麼能正確實現加法運算之前，我們先看看它的本質，也就是那兩個求補碼步驟的轉換方法是怎麼來的。下面描述了一個正數怎麼求它對應負數在計算機的表達方式。比如128，正數為10000000，但是驚奇的發現-128也是10000000。但是這裡由於屬於數據類型的限定，第八位同樣一個1代表不同的含義，前面的 1是數值位，後面數的 1是符號位。

要將正數轉成對應的負數，其實只要用0減去這個數就可以了。比如，-8其實就是0-8。用模數的概念解釋如下圖

已知8的二進制是00001000，-8就可以用下面的式子求出：

００００００００

－００００１０００

－－－－－－－－－- - - -

因為00000000（被減數）小於0000100（減數），所以不夠減。請回憶一下小學算術，如果被減數的某一位小於減數，我們怎麼辦？很簡單，問上一位借1就可以了。

所以，0000000也問上一位借了1，也就是說，被減數其實是100000000，這是重點；算式也就改寫成：

１００００００００

－００００１０００

－－－－－－－－－- - -

１１１１１０００

進一步觀察，可以發現可分拆為100000000 = 11111111 + 1，所以上面的式子可以拆成兩個：

１１１１１１１１

－００００１０００

－－－－－－－－－

１１１１０１１１取反

＋０００００００１加一

－－－－－－－－－

１１１１１０００

二進制的補碼兩個轉換步驟就是這麼來的。

舉個例子，比如-128補碼的由來，先把正整數128二進制表示出來10000000求-128的補碼

1 1 1 1 1 1 1 1

-1 0 0 0 0 0 0 0

－－－－－－－－－

0 1 1 1 1 1 1 1

+0 0 0 0 0 0 0 1

－－－－－－－－－

1 0 0 0 0 0 0 0

即-128的補碼是10000000。8位的結構能表示的最小數是-128；

有些內容來自於：https://blog.csdn.net/jq_ak47/article/details/45338061

二進制加減乘除原理：https://blog.csdn.net/lyt_angularjs/article/details/80613228

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作者： TianshiyuMogui