【試題呈現】
如圖1，平面直角座標系中，有正方形AOBC，O為座標原點，點A、B分別在y軸、x軸正半軸上，正方形OABC的面積為16.
(1)求點C的座標；
(2)如圖2，點E為對角線AB上一點，且EF⊥BC，EG⊥AC，垂足分別為F，點G，求證：OE⊥FG；
(3)如圖3，過點A作AH⊥OE交OE所在直線於點H，連接BH，當點E在對角線AB上運動時求BH的最小值.
第一問分析與解
由正方形面積為16，可知正方形邊長為4，故C(4，4)
第二問分析與解
相互垂直的線段不相交時，我們通常採取延長相交或平移相交
證法一：平移GF，使G點與E點重合
過E作ED∥GF，即證OE⊥DE，
如此一來，圖形變為我們所熟知的正方形對角線上的垂直基本圖形(鄰邊相等對角互補)
(這個基本圖形的證明方法多種)，若結論成立，必然有OE=DE=GF，這指引我們作出下一步輔助線：聯結CE，證明OE=DE
由正方形對角線的對稱性，有
EO=EC，∠ECB=∠EOB
由GE⊥AC，∠C=90°
故EG∥DF，
故四邊形EGFD為平行四邊形，得
EG=DF，
又EF⊥BC，EG⊥AC，AC⊥BC
故四邊形EGFC為矩形
故CE=GF，
故CE=EF，
故∠ECD=∠EDC
又∠ECB=∠EOB
故∠EDC=∠EOB
則∠EOB+∠EDB=180°
四邊形OEDB中，∠OED+∠BOD=180°
顯然∠OED=∠OBC=90°
證法二：平移GF使F點與E點重合
當我們看到這個圖形時，自然想到下一步輔助線，即過E作EN⊥OA於N，
證明△MEE≌△ONE，
△MEE≌△ONE已有明顯的兩個條件：
∠MGE=∠ONE=90°、GE=NE
只需再找一個條件即可，回到GE⊥AC，EF⊥BC上來
聯結CE，不難證明CE=GF=OE=NE
證得△MEE≌△ONE，得∠OEN=∠MEG，
導角得ME⊥OE
證法三：平移OE使E與G重合
過G作EM∥OE，易證
四邊形OMGE為平行四邊形，得
MO=GE，MG=OE，
無論是從結論的成立條件還是圖形直觀上都存在著△AGM≌△CGF
易證四邊形GEFC為矩形，CF=GE
易證△AEG為等腰Rt△，得AG=GE
故AG=GE=MO=CF，
故AO-MO=AC-AG
即AM=CG
由AG=CF，∠MAG=∠GCF=90°
故△AGM≌△CGF
得∠AGM=∠CFG，
故∠AGM+∠CGF=∠CFG+∠CGF=90°
即有MG⊥GF
故OE⊥GF
注：△AGM≌△CGF在全等的判定上方法也多種，無非多添加輔助線，
證法四：平移OE，使E與F重合
易證△GCF≌△FBP，得∠PFB=∠FGC，導角得證。
證法五：延長OE交GF於M
考慮到正方形對角線上的“正方形的再生性”,延長GE交BO於N，得到更多等量線段和角度，
顯然EN=EF，∠ONE=∠GEF=90°，
若OM⊥GF成立，那麼必然有∠OEN=∠EFG，
即無論直觀還是從結論成立的條件看，
都指引我們證明△OEN≌△GFE
△OEN≌△GFE的條件已有兩個，只需再找一個即可
聯結CE，得CE=GF，
又由正方形對稱性可知EO=EC
故OE=GF
故△OEN≌△GFE，得：
∠OEN=∠EFG
故∠MEG+∠GEF=∠EFG+∠EGF=90°
故OE⊥GF
第3問分析與解
圖中的動點E導致垂足H的位置變化，圖中確定的元素：正方形的大小、∠AHO=90°，取AO中點，得到定長線段HP，聯結BP，則BH在一個兩邊長度都是定值的△BPH中，利用三邊關係求解即可
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