空虛劍法天下無雙
函數問題一直是學生害怕，發愁的問題。看見函數題，同學們就會出現兩股戰戰，幾欲先走的局面。函數真的很難嗎？
人們在認識一件事物時，總遵循著由淺入深、由表及裡、螺旋式上升的認知過程。尤其對函數概念本質的理解與認知也在發展，所以數學概念的認識不可能一步就位，需要一個螺旋上升的曲折過程。函數里面的變量，為什麼會形成一一對應的關係，在函數認知發展歷程經歷300多年發展完善。
一、函數的變量形成一一對應的關係是函數發展中的需要
函數要描述一個什麼內容？概括性地講，函數要描述兩個變量之間的相互依賴、轉化的關係，這就是函數的本質。它是從常量數學邁進變量數學的標誌。
16世紀以前，數學研究的多為靜止不動的常量，稱為常量數學或者初等數學。16世紀，變量和函數概念產生標誌著數學從常量時代進入到變量時代。
函數概念在其產生後的200多年間經歷了五次大的演變，這裡面既有質的改變，也有形式內容上的完善，其中前幾次演變與微積分學有密切關係。
隨後微積分的發展促使函數概念用解析表達式（即聯繫兩個變量之間關係的數學算式）表示，這是函數概念的第一次重大演變。1694年，瑞士數學家約翰伯努利首先給出“解析式說函數概念”。約翰伯努利的學生、數學王子、瑞士數學家歐拉1748年在其著作《無窮小分析論》中對伯努利的定義作部分修正：一個變量的函數是由該變量和一些數或常量以任何一種方式構成的解析表達式。同時，歐拉發明利用英語單詞“function＂的首個字母f當作函數符號f(x）。
函數的解析式說定義在18世紀大部分時間佔有統治地位，它的優點是“解析式”是具體可以看到的東西，對幫助初學者理解函數概念是十分有益的。
1859年，我國著名數學家李善蘭在翻譯《代數學》一書時，首次將英文的“function”譯為“函數”。他認為，“凡式中含天，為天之函數。”（式子中有x，這個式子就是x的函數）。在我看來，李善蘭先生不直接用“含數”來表達，而是用了“函”，更多的是想體現函數中包含的“聯繫，關聯，隨之而變”的思想。
函數概念的第二次重大演變是用“運動與變化”的觀點給函數下定義。1８世紀中期，數學家們一直在爭論振動弦問題：“一根兩端固定的彈性弦被變形成某種初始形狀，然後被釋放出來振動。問題是描述確定某時刻弦形狀的函數。”這場辯論對函數概念的演變產生了重要的影響，出於刻畫弦形狀的函數的需要，數學家圍繞“如果兩個表達式在某個區間一致，那是否處處一致？”這一問題展開了爭論。
因此，數學家們開始意識到用“解析式”定義函數已經不夠完善了，於是1775年，歐拉在《微分基礎》中更新了函數定義：“如果某些量依賴於另一些量，當後面這些量變化時，前面這些變量也隨之變化，則前面的量稱為後面的量的函數。”函數的“變量依賴說”定義由此誕。
所以《高等數學》(同濟版,第七版)第1頁第一段話第二句：所謂函數關係就是變量之間的依賴關係，目的是為了突出函數的靈魂（“變化”）。
德國數學家狄利克雷在1837年給出“變量對應說”定義：“如果對於給定區間上的每個x的值，y總有完全確定的值與之對應，那麼y就叫做x的函數”。他進一步還指出，y依賴於x關係是否可用數學運算式來表達，無關緊要。1851年德國數學家黎曼把函數定義中的“完全確定的值”改為“唯一的一個值”。這是函數概念的第三次重大演變。
新課改之前，我國初中數學教材中函數的定義，實際上是歐拉的“變量依賴說”與黎曼的“變量對應說”的混合物。這種動態的描述性定義方式體現了原始粗略但生動直觀的一種動態文化內涵，其優點是把“變量”與“對應法則”巧妙地融合在一起這就是說，它既突出了函數的靈魂（“變化”），又強調了函數的本質（“對應關係”）。
函數的近代與傳統兩種定義方式決定的
目前我國高中數學教材中普遍使用它，表達為：設 A、B為兩個非空集合，如果按某個確定的對應關係，對於集合A中每一元素x，總有集合B中唯一確定的元素y與之對應，那麼這個對應關係叫做一個映射。當 A、B為非空數集時，這樣的映射就稱為函數。
利用集合之間的“對應關係”給函數下定義，擺脫了“變量”對函數概念的約束，使得函數概念的適用範圍更為廣泛。因此，是函數概念的第四次重大演變。
1939年法國的布爾巴基學派對“關係”加以限制給出下述十分形式化、抽象化的函數定義：
設A與B是給定的數集， f是笛卡兒乘積集A×B(=｛（x,y)l x∈A，y∈B})的一個子集（也稱A與B的一個關係），如果對於任何x∈A，存在唯一的y∈B,使得（x，y）∈ f（等價於若（x,y), (x, z）∈f，則必有y＝ z），則稱 f是定義在A上、取值在B中的函數。
“集合關係說”是用集合論的語言，即對笛卡兒乘積集加以適當限制再對函數下定義，消除了“變量”“對應”等含義模糊的用語，因而是完全數學化的定義。
這種完全形式化的定義還便於為計算機所接受由此可見，這種高度統一、形式化函數定義，函數概念的第五次重大演變。
傳統定義：在一個變化過程中，假設有兩個變量x，y，如果對於任意一個x都有唯一確定的y與之對應，那麼就說y是x的函數，x為自變量，y為因變量，x的取值範圍叫做這個函數的定義域，相應的y的取值範圍叫做函數的值域。
現代定義：設A，B是兩個非空數集，如果存在一個確定對應法則f，能使得對於A中的任意一個x，在B中都有唯一確定的y與之對應，那麼就稱映射
f：A→B為從集合A到集合B的一個函數，集合A為函數的定義域，集合B為函數的值域。
你可以把函數理解成很多東西：你可以把它看作是一種變化過程、看作兩個量之間存在的關係等等。
結束語
今天我們在已知函數概念的前提下，應該能夠把他們還原到原始狀態。不僅侷限於數、值、點、圖形這些抽象數學對象的對應，不僅狹窄的將運算作為對應法則。應該有能力把一切相關聯事物作為象集、原象集，藉助客觀實物去理解函數。比如每個人的qq號碼作為原象，持有賬戶的關係作為對應法則，那麼象集“人”就與原象集“qq”號碼建立起了函數關係。此類關係在生活中不勝枚舉，希望大家展開聯想，積極思考，這樣函數這一概念會在你的腦海裡越發的深刻。
一個有趣的例子是這樣的，將十朵花分別插入十個水瓶中，對一個3歲大的小女孩提問，花和瓶子哪個多？小女孩能回答出來一樣多；再將所有的花拿出來紮成一捆，問同樣的問題，小女孩就會說瓶子多。小女孩是純真的她所說的話正體現了人們對函數一一對應這一性質的最初認識。如果象在對應法則下都有唯一的原象並且原象集中的元素一個不剩的都對著象集中的元素。不就是花與瓶的關係嗎？我們對無窮多數集比較的問題不就解決了嗎？現在問你被2整除的數與被3整除的數哪個更多你一定不會象小女孩那樣說被3整除的數因為大所以多，他們可以建立一一對應關係，讓被2整除的數乘以2分之3就能與被3整除的數形成一一對應。
函數一一對應關係能解決直觀引起的誤區，並且具有反對應、可逆轉的功效。生活中人人都在用的身份證就是這個思想的產物。每個人都必須且只能有唯一一個身份證號，身份證號就和人建立起了一一對應，只要出示身份證就能表明你的身份。
總之，函數所體現的，就是兩件看似不相關的事件背後的關係。為什麼函數如此重要？其實仔細想想，世間萬物不也如此嗎？我們周圍的環境瞬息萬變，時刻都與其他的人、事、物產生關聯。原來，函數的本質與我們的生活息息相關。學習函數的有關知識，就是為了我們更好的解釋、分析甚至一定程度地預測世界。
參考文獻：
唐遠猷，函數、映射到底是什麼？
中學數學深度研究
因為不是一一對應就不是函數
verygood
因果關係，必須一一對應，一個自變量必須對應一個因變量，也可以多個自變量對應同一個因變量，但是不存在一個自變量對應多個因變量的現象
