超級傳播者

1906年8月，銀行家沃倫一家正在紐約的避暑別墅度假。沒多久沃倫的女兒感染了傷寒，緊接著這所別墅裡的11人有6人被感染。很快將人們將目標鎖定在了廚師瑪麗·梅倫（Mary Mallon）身上，瑪麗此前工作過的地點都曾暴發過傷寒，而且瑪麗不是一個愛乾淨的廚師，上完廁所及做飯之前從來不洗手，瑪麗最擅長不戴手套手工製作“桃子冰激凌”。瑪麗看起來健康壯實、面色紅潤，完全不像是一個感染者，但研究人員在她的膽囊中發現了大量活性傷寒桿菌。作為歷史上第一個被發現的“健康帶菌者”，瑪麗與當地衛生部門達成和解並取消隔離，條件是她不再做廚師。幾年後，固執的瑪麗再次以“布朗夫人”的名義重操舊業，並再次使25人感染。瑪麗最終被隔離在一座島上直到去世。瑪麗一生中直接傳播了52例傷寒，其中7例死亡，間接被傳染者不計其數。作為歷史第一位“超級傳播者”，她擁有了一個與傷寒緊緊聯繫在一起的名字“傷寒瑪麗(Typhoid Mary)”

傷寒瑪麗

假如我們每個人都是“超級瑪麗”，每天傳染10個人，只要不到10天時間，全世界的人都會被感染。如果傳染病的致死率為10%的話，很快地球上將減少7.5億人口。幸運的是，這是傳染病傳播最簡陋的模型，實際上還沒有哪一種傳染病能在這麼短時間內讓這麼多人死亡。

早期的傳播模型

天花病毒是催生人類研究傳染病模型的最早動力，儘管我國在宋代就已經開始接種人痘以預防天花，但人痘法依然具有讓人感染上天花並死亡的風險。當這種方法傳到歐洲的時，對這種風險的擔憂開啟了對傳染病模型的研究。英國科學家詹姆斯•尤林(James Jurin)統計量很多天花病例，結論證明自然感染天花的死亡概率為10-20%，接種天花疫苗後仍然死亡人數的人數2%，這是有關傳染病最早的統計數據。

詹姆斯•尤林(James Jurin)

然而，在歐洲大陸的法國，對接種的懷疑態度比英國更為強烈，物理學家和數學家丹尼爾·伯努利(Daniel Bernoulli)試圖從從另一個角度證明天花疫苗的長期利益大於眼前的風險——即人痘究竟能夠將預期壽命將增加多少。

丹尼爾·伯努利(Daniel Bernoulli)

他把人群分為兩組:一組是天花易感人群（Susceptible），另一組是之前感染過天花的人群（Infective）。作為流體力學的開山鼻祖，他的模型一開始就考慮了時間的作用，並用兩個方程來描述這個問題。一個方程描述了人口隨時間的變化; 另一組給出了易感染天花的人數。在這種簡化模型下，如果所有人口在出生時接種疫苗，預期壽命將增加3年以上。

最經典的模型

一百多年以後，流行病學研究逐漸發展成為一門專門的學科。發現蚊子是瘧疾的傳播媒介的 Ronald Ross 爵士成為第一個因為流行病學研究獲得諾貝爾獎的人。

羅納德·羅斯爵士

Ross 爵士的助手安德森·麥肯德里克（Anderson McKendrick）與其同實驗室的化學家威廉·克馬克（William Kermack），在1927年共同發表了流行病研究中最經典、最基本的“SIR”模型，為傳染病動力學的研究做出了奠基性的貢獻。

麥肯德里克和克馬克

SIR模型從所有人的總數N出發，將人群分為三類：

易感者（Susceptible）：還沒有被感染，但是可能被感染的人，數量用S表示

感染者（Infective）：已經被感染且依然能接觸易感人群的人，數量用I表示

移除者（Removal），由於被隔離或接受治療產生免疫能力，以及那些因病去世的人被稱為移除者，數量用R表示

在最開始的時候，所有人都是易感者，即S=N；然後S以每天有α的可能性被感染，感染者I又以每天β的概率轉化為移除者R（康復或死亡）。

SIR模型

這三種人的數量都與時間有關係，在不同時刻t下，這三者的關係為：

N(t) =S(t) +I(t) +R(t)

總人數= 易感人數+感染人數+移除人數

S(t+1) =S(t) -αS(t)

下一時刻的易感人數=當前易感人數-新感染人數

I(t+1) =I(t)+αS(t)-βI(t)

下一時刻的感染人數 = 當前感染人數+新感染人數-新移除人數

R(t+1) =R(t) +βI(t)

下一時刻的移除人數=當前移除人數+新移除人數

從這四個簡單到小學生就能懂的關係式出發，McKendrick和Kermack研究了S，I，R三類人隨時間的變化率。他們採用了一種被稱為連續時間馬爾可夫鏈的隨機過程最終推導出三類人員的變化率(具體過程比較複雜，暫且可以忽略)：

我們最關心的是第二個式子，即感染人群數I的變化率。當I的變化率I'為負值，則表明感染的總人數I是在下降的。當I'為正值時，感染的總人數I在上升。因此，科學家們將αS(t)I(t)與βI(t)的大小關係定義為一個特殊的量：

R0表示的是基本傳染數（Basic Reproduction Rate），它代表了感染者在死亡或康復之前被他感染的人數。

R0可能是流行病學中最重要的一個量，是研究傳染病群體生物學的核心問題。下圖展示了季節性流感（Seasonal Flu），埃博拉(Ebola)，SARS，麻疹（Measles）以及艾滋病病毒（HIV）的R0。儘管麻疹具有最強的傳染性，但是大家不用擔心，中國從1965年開始普種麻疹減毒活疫苗後發病顯著下降。

最早的SIR模型奠定了傳染病模型研究的基礎，但它畢竟是一種簡化的模型。影響傳染病實際傳播的因素非常複雜，自身免疫狀況，傳播方式，人群聚集情況，醫療保障措施（疫苗）等等都會影響傳播。SIR的缺陷也非常明顯的，它並沒有考慮許多傳染病存在潛伏期，已經被感染但是沒有表現出來的人群被稱為潛伏者。當潛伏期趨近於無窮的時候，被感染的人就會像”傷寒瑪麗“那樣，很容易作為超級傳播者。潛伏期越長，傳染病越難控制。考慮到這些因素，SIR模型衍生出了SEIR模型，其中E代表潛伏者(EXPOSED)。

SEIR模型

注意這些模型之間的那些實線和虛線，表示不同類別之間轉化的可能性，虛線表示也可能這種轉化不存在。像艾滋病這種傳染病，感染者目前並沒有機會獲得治癒，也就是沒有移除者（Removal），SIR模型並不適用。描述艾滋病傳播的模型模型被稱為SI模型（易感-感染者模型）。

SI模型

藉助這些傳染病模型，我們將能驗證隔離或注射疫苗確實是制止傳播的有效手段。假如感染者，能夠每天接觸10個人，

假如有20%的機會使周圍的人感染，則R0 =2：

可是如果那10個人中，有5個都打了疫苗：

則R0就會降到R0=1.

疫苗實際上與隔離的作用差不多，也將會降低R0.

我們也可以將SIR三類人在不同時間的人數用曲線表示出來。例如總人數為 1000 的大學或公司，剛開始只有一個人感染感冒，其他 999 個人很健康但屬於易感人群。假設感染者每天將傳染其他五人，並且人們一般會在生病一到三天後決定去醫院或隔離。因此，我們假設每天移除 1/3的感染者。曲線如下所示，其中藍色，綠色，紅色分別表示易感者S，感染者I以及移除者R.

上例中，疫情會在五天後達到高潮，一半的人群會被感染，疫情大爆發了。如果我們再來分析如果每天80%的感染者被送進醫院或隔離，將得到：

儘管它在第六天才達到頂峰，但只有不到200人感染。數據證明感染後就醫與隔離是正確的做法。

結束語

SIR模型簡要的反映了群體中不同類別之間的動態轉換。這種基於流體力學的狀態演變方程用途十分廣泛，它們不僅能夠描述捕食者和獵物之間的動態關係，描述經濟週期的動態變化，還能描述輿論傳播等很多領域。

所有這些最基礎的模型並不深奧，只需要基本的微積分知識就能深刻了解數學帶來的神奇力量！

https://www.quantamagazine.org/flu-vaccines-and-the-math-of-herd-immunity-20180205/

https://www.jhunewsletter.com/article/2018/12/bernoulli-jurin-and-the-math-behind-smallpox

https://thatsmaths.com/2012/09/20/the-end-of-smallpox/

https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/McKendrick,_Anderson_Gray

http://mathworld.wolfram.com/Kermack-McKendrickModel.html

http://networksciencebook.com/chapter/10#introduction10

https://cn.comsol.com/blogs/analyze-the-spread-of-epidemic-diseases-with-simulation/

https://harvardmagazine.com/2007/03/the-sars-scare.html

https://www.wired.com/2015/04/see-diseases-spread-mesmerizing-graphics/

http://eureka.criver.com/flu-hype-is-always-rampant-but-this-year-its-understandable/

https://www.quantamagazine.org/the-unforgiving-math-that-stops-epidemics-20171026/

www.stat.columbia.edu/~regina/research/notes123.pdf

圖片轉自網絡，著作權歸原作者所有。

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