作者 | 王乙堃
本文經授權轉載自（ID：chengxuyuanxiaohui）
博弈論是一門非常有意思的學問，之前小灰曾經分享過兩個著名的博弈場景：囚徒困境和智豬博弈。今天，我們來介紹一個更加燒腦的博弈遊戲：硬幣遊戲。
遊戲規則
小灰和大黃都有若干塊糖果。有一天大黃提議和小灰玩一個遊戲。這是個什麼遊戲呢？規則很簡單：首先，他們各自拿出一枚硬幣，並同時亮出：
如果同為正面，大黃給小灰3塊糖果
如果同為反面，大黃給小灰1塊糖果
如果是一正一反，小灰給大黃2塊糖果
經過若干輪遊戲，小灰的糖果都被大黃贏走了......
概率裡的陷阱
為什麼會發生這樣的事情呢？我們可以好好探究一下這個問題。讓我們試試看用一個表格表示小灰的收入：
乍一看每種情況出現的概率都是，因此這個遊戲似乎是極其公平的？那麼是因為小灰運氣不好呢？不不不，這個遊戲裡，其實包含著一個隱蔽 的漏洞：如果是隨機的拋硬幣，那麼每種情況出現的概率的確是，但是不要忘了，這個遊戲的規則不是隨機的拋硬幣，我們可以主觀選擇自己亮出的硬幣是正面還是反面，就像在玩“石頭剪子布”一樣。我們假設大黃出正面的概率為p，小灰出正面的概率為 ，那麼我們可以得到下圖：
左圖表示大黃，右圖表示小灰
可以看到，此時表示大黃出正面的概率，表示大黃出反面的概率，表示小灰出正面的概率，而表示小灰出反面的概率。以此為基礎，很容易計算出：兩人同時出正面的概率是 pq , 小灰的收穫是3。
兩人同時出反面時的概率是(1-p)(1-q) , 小灰的收穫是1
小灰出正面，大黃出反面的概率是(1-p)q , 小灰的收穫是-2
小灰出反面，大黃出正面的概率是p(1-q) , 小灰的收穫是-2
我們用一個字母表示小灰的預期收穫，那麼的值為：
（也就是把他們加在一起了）
簡化之得：
下面的分析會比較燒腦，涉及到含參數不等式以及減函數的知識，一次看不明白的小夥伴可以多看幾遍。
求解方程
大黃想要贏小灰，就要使小灰的收入小於，我們可以列出不等式：
把的值代入，即：
大黃無法修改小灰的值，但是他卻能修改自己的值，因此我們要求的就是值的解集。把原式當做一個未知數為 的含參數不等式，先將參數項移至右面，把未知數項放在左面
合併同類項可得到：
對於一個含參數的不等式，我們要進行分類討論：
當參數>0時（兩邊同時除以參數，不等式符號不變）
當參數<0時（兩邊同時除以參數，不等式符號改變）
當參數=0時（原式有任意解）
上面所說的參數，是指 8q-3 這一項
注：由於在這裡表示一個概率，因此的取值範圍一定只有，也就是說，當為任意解時，也僅僅只對任意的成立。
對於上面參數不等式的三種情況，讓我們分別進行具體討論：
情況A，當參數大於0，即，時：
（不等式符號不變）
當定義域為時，有函數
對應的函數圖像為
將其不斷放大，直到的定義域為，發現函數圖像的曲線是向下的：
也就是說，這是一個減函數，其定義域上的任何自變量都有對應的。為了保證（在q的定義域內）不等式成立，p必須小於f(1)，也就是時，原式成立。
情況B，當參數小於0，即
，時：
（不等式符號相反）
當定義域為時，函數為一個減函數，具體的函數圖像可以看下圖：
雖然它的曲線和剛才略有不同，不過仍然符合減函數的定義。為了保證在（q的定義域內）不等式成立，p必須大於f(0)，也就是時，原式成立。
情況C，當參數等於0，即，時：
（任意解）
我們把情況A、情況B、情況C當中p的取值範圍求一個交集，最終得出：當大黃把亮正面的概率控制在時，小灰一定會輸。
應用場景
這個遊戲遠遠不止於此，其實它還能應用到生活中的很多場景裡。我們以炒股為例子，把大黃想象成莊家，把亮正面想成做空，亮反面想成做多，那麼在這個由莊家掌握的局面下，很顯然投資者（也就是小灰）一定是會吃虧的。因此，請遠離炒股，炒股有風險，投資需謹慎。
這個博弈論的問題就講解到這裡，謝謝閱讀！
需要特別說的的是，王乙堃同學年僅12歲，在讀小學六年級，能寫出這樣的文章真的很了不起，非常感謝他的投稿！
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