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這個問題筆者感覺相當超級龐大，涉及現代數學發展潮流及趨勢，相當抽象高深，研究生級別的課題，作為數學愛好者筆者斗膽班門弄斧，回答不當之處，留言點評，後續不斷完善。
引語
"我們必須知道，我們必將知道"。你聽到的，正是90年前，1930年，希爾伯特在他退休時演講的最後六個單詞，也是鼓舞一代數學家的六個單詞。儘管當時第三次數學危機仍然陰魂不散，但他們堅信，數學大廈的基礎是堅實的。他們也堅信，任何數學真理，只要通過一代又一代人的不斷努力，都能用邏輯的推理將其整合到數學的大廈中。
這是何等的氣魄！這是何等的夢想！但就在演講前夕，他的同胞哥德爾，作出了一個斷言，徹底打碎了這個夢。
希爾伯特是一位名副其實的數學大師，被譽為“數學界最後一位全才”，他看待數學的眼光也是相當深刻的。在23歲時，他便以一篇關於“不變量理論”的論文躋身數學界。他的證明方法在當時相當具有爭議性。
在這篇論文中，希爾伯特使用了非構造性的證明，也就是說他只能證明某個數學對象的存在性，卻無法將它具體指出。他的證明依賴於對無窮的對象使用排中律，從而遭到了不少人的質疑。所謂的排中律，指的就是一件事非真即假，那麼為什麼針對這個還有反對的意見呢？
羅素悖論引發出數學三個流派
集合論是在19 世紀末由康託建立的, 使集合概念成為最基本、應用最廣的一個概念，人們相信，全部數學的基礎理論可用集合概念統一起來。1900 年，在巴黎召開的國際數學家大會上， 龐加萊曾滿懷信心的說：“ 現在我們可以說， 完全的嚴格化已經達到了。” 可是這話說出後還不到3 年，英國數學家羅素於1902 年給德國數學家弗雷格的信中提出一個集合悖論，使數學基礎發生動搖，用弗雷格的話說：“突然它的一塊基石崩塌下來了。”
羅素構造了一個集合S：S由一切不是自身元素的集合所組成。然後羅素問：S是否屬於S呢？根據排中律，一個元素或者屬於某個集合，或者不屬於某個集合。因此，對於一個給定相關書籍的集合，問是否屬於它自己是有意義的。但對這個看似合理的問題的回答卻會陷入兩難境地。如果S屬於S，根據S的定義，S就不屬於S；反之，如果S不屬於S，同樣根據定義，S就屬於S。無論如何都是矛盾的。
因為羅素悖論只涉及最基本的集合論概念：集合，元素，屬於和概括原則，它的構成十分清楚明白。這個悖論的出現說明以往的樸素集合論中包含矛盾，因而以集合論為基礎的整個數學就不能沒有矛盾。這個悖論也同時說明數學中採用的邏輯也不是沒有問題的。數學上的第三次危機使數學界和邏輯學界都感到問題的嚴重性。羅素悖論表明不能無條件承認概括原則，然而概括原則的改變將使集合論大為改觀，因此對整個數學的影響是巨大的。
羅素悖論一個通俗的說法是理髮師悖論：在某個城市中有一位理髮師，他的廣告詞是這樣寫的：“本人的理髮技藝十分高超，譽滿全城。我將為本城所有不給自己刮臉的人刮臉，我也只給這些人刮臉。我對各位表示熱誠歡迎！”來找他刮臉的人絡繹不絕，自然都是那些不給自己刮臉的人。可是，有一天，這位理髮師從鏡子裡看見自己的鬍子長了，他本能地抓起了剃刀，你們看他能不能給他自己刮臉呢？如果他不給自己刮臉，他就屬於“不給自己刮臉的人”，他就要給自己刮臉，而如果他給自己刮臉呢？他又屬於“給自己刮臉的人”，他就不該給自己刮臉。
集合論中為什麼會產生矛盾這個非常根本的問題，涉及數學邏輯推理的可信性和數學命題的真理性問題，屬於數學哲學的範疇。從1900 年到1930 年的30 年間，許多數學家捲入了一場關於數學哲學基礎的討論，並逐漸形成不同的數學基礎學派的爭論，主要有邏輯主義、形式主義和直覺主義三個流派。
1907年美籍荷蘭數學家布勞威爾，反對在數學中使用排中律，提出直觀主義數學。
直覺主義的奠基人和代表人物是荷蘭數學家布勞威爾, 從1907 年布勞威爾的博士論文《數學的基礎》開始，直覺主義者逐步系統的闡述了他們的數學觀和重建數學基礎的主張。他的數學觀包括以下幾個方面：
(1) 他對數學對象的觀點。
直覺主義者認為數學產生於直覺，論證只能用構造方法，他們認為自然數是數學的基礎。布勞威爾提出一個著名的口號：“存在即是被構造。”他認為，人們對數學的認識不依賴於邏輯和語言經驗，而是“原始直覺”（即人皆有的一種能力），純粹數學是“心智的數學構造自身”、是“反身的構造”，它“開始於自然數”，而不是集合論。這種數學構造之成為構造，與這種構造物的性質無關，與其本身是否獨立於人們的知識無關，與人們所持的哲學觀點也無關。構造物應該怎樣就怎樣，數學判斷應該是永恆的真理。
他們不承認不承認有客觀存在的、封閉的和已完成的實無窮體系。實無窮論者認為“自然數全體” 就是指自然數集 {1 ，2，3，,,} ，這是一個確實存在了的完成了的集合，可以而且應該作為數學研究的對象。潛無窮論者否認實無窮，認為無窮只是潛在的，並不是已完成了的封閉實體，只是就其發展來說是無窮的。在他們看來，自然數1， 2，3...,只能是永遠處於不斷被構造和生成的過程，而不是完成了的、封閉實體。所以，諸如“自然數全體”這樣的概念是沒有意義的。
(2) 對數學所用的邏輯的觀點。
布勞威爾對數學對象的觀點直接導出了他對數學所用的邏輯觀點；認為“ 邏輯不是發現真理的絕對可靠的工具” ，並認為，在真正的數學證明中不能使用排中律，因為排中律和其他經典邏輯規律是從有窮集抽象出來的規律，因此不能無限制的使用到無窮集上去。同樣不能使用反證法。
直覺主義對20 世紀數學的發展產生很大的影響。本世紀30 年代以後，由於哥德爾的工作，許多數學家開始重視直覺主義。數學家們紛紛嘗試用構造法建立實數理論、數學分析以至全部數學，得出不少重要結果。構造性數學已經成為數學科學中一個重要的數學學科群體，與計算機科學密切相關。1967 年，美國數學家畢肖普完成並出版《構造性分析》一書，開始了直覺主義學派的構造主義時期。
有數學家反對對無窮集合使用排中律,一場持久戰
1908 年，布勞威爾寫出了一篇名為《關於邏輯原理的不可靠性》，這篇論文認為運用排中律的數學證明是不合理的。
排中律是一個基本的邏輯定律，也是一個常用的數學技巧，指每一個數學命題要麼對，要麼錯，沒有其他可能性。
布勞威爾不認同，他堅持認為第三種情況是存在的。
1912 年，在阿姆斯特丹大學的數學教授就職演說上，布勞威爾進一步探討了他認為與這個“定律”有聯繫的問題。
他經常質疑建立在排中律基礎上的數學證明，稱他們是“所謂的證明”。
1920 年，他聲稱“將排中律用作數學證明的一部分，是不允許的……它只具有學理和啟發的價值，因此那些在證明中不可避免使用這個定律是缺乏數學內涵的。”
後來希爾伯特實在忍無可忍，回應道：“把排中律排除在數學之外，就像禁止拳手使用拳頭。”
希爾伯特是在 23 歲時以一篇關於不變量理論的論文擠身數學界的，在這篇論文中，它使用了非構造性的證明，而他的證明正是依賴於對無窮的對象使用排中律。
1917 年至 1920 年，布勞威爾開始進一步發展他的直覺主義觀點，包括沿著直覺主義思路發展集合論。
在 1919 年的《直覺主義的集合論》，布勞威爾指出他早期的拓撲學研究從直覺主義觀點來看是不正確的。
拓撲學 (topology) 是研究幾何圖形或空間在連續改變形狀後還能保持不變的一些性質的學科，它只考慮物體間的位置關係而不考慮它們的形狀和大小。
在大約 1920 年後，他向外界發佈了這些成果，這顯然是對希爾伯特的挑戰。
康託創立集合論，是基於解決微積分的邏輯基礎問題，為了使微積分裡面採用的無窮小概念有一個清晰的邏輯基礎。
希爾伯特熱忱地支持康託的集合論與無限數，他認為，為了加強數學的基礎，支持康託的觀念將是必要的。
而且希爾伯特在數學領域所做出的最具影響的貢獻還是著名的幾何基礎和“23 個數學問題”，這裡面都涉及到了拓撲學。
比如說這樣一個命題：π中含有任意長度的連續數字9。如果我們接受排中律的話，這個命題非真即假。但無論這個命題是真是假，我們都無法在實際上驗證，因為要驗證這個命題，我們都要將π無窮地計算下去，而這是不可能做到的。所以，人們對於將排中律用到這種無窮的情況仍有顧慮，因為這不是人們的直覺所能掌握的範圍。
也許正是因為這件事，希爾伯特動起了為整個數學尋求一個堅實基礎的念頭，於是經過多年在不同數學領域富有成果的涉獵後，希爾伯特將目光投向了整個數學。對平面幾何學的嚴格公理化，可能是他在這方面的第一個嘗試，但他的思考絕不僅限於幾何。他的目標是將整個數學體系嚴格公理化，然後用元數學，也就是“證明數學的數學”，來證明整個數學體系是堅實的。
為了這個目標，他制定了著名的希爾伯特計劃。
首先，將所有數學形式化，讓每一個數學陳述都能用符號表達出來，讓每一個數學家都能用定義好的規則來處理這些已經變成符號的陳述。這使得數學家可以擺脫自然語言的模糊性，取而代之的是毫無含糊之處的符號語言。
計劃的第二步是證明數學是完整的。這個完整包含了兩個方面，一是完備，二是一致。所有真的陳述都能被證明，這被稱為數學的完備性；另一方面，不會推出自相矛盾的陳述，則被稱為數學的一致性。完備性保證了我們能證明所有的真理，只要是真的就可以證明；一致性確保我們在不違背邏輯的前提下獲得的結果是有意義的，不會出現一個陳述，它既是真的又是假的。
計劃的最後一步是找到一個算法，可以機械化地判定數學陳述的對錯，這被稱為數學的可判定性。
那麼如果希爾伯特的這三個計劃完成了，意味著什麼？首先，一致性是很重要的，因為我們不能接受比如說“哥德巴赫猜想既對又不對”這樣的結論，一致性無疑就保證了自相矛盾的情況不會出現。在保證數學的一致性這個前提下，我們又有數學的完備性，也就是說只要是真的都可以證明。
面對直覺主義者對數學基礎可靠性的尖銳批評，希爾伯特認為經典數學，以及在集合論基礎上發展起來的新數學，都是人類最有價值的精神財富，是不能丟棄的,他說：“禁止數學家使用排中原則，就像禁止天文學家使用望遠鏡和拳擊家使用拳頭一樣。”
希爾伯特認為只要將數學形式化"構成形式系統"然後用一種有限性的方法，就能證明各個形式系統的兼容性，從而導出全部數學的無矛盾性。希爾伯特的雄心勃勃數學基礎研究規劃最終被哥德爾的不完備性定理所否定，但他為此而創立的證明論卻開闢了一個數理邏輯的新領域。
受希爾伯特規劃的影響，1930年哥德爾開始考慮數學分析的一致性問題，1931年發表《PM及有關係統中的形式不可判定命題》一文，論證了兩個著名的定理：1. 一個包括初等數論的形式系統P，如果是一致的那麼就是不完備的（第一不完備性定理）；2. 如果這樣的系統是一致的，那麼其一致性在本系統中不可證（第二不完備性定理）。哥德爾的本意是要實現希爾伯特規劃。他試圖首先證明算術理論的一致性，然後建立分析“實數的”理論的一致性。但最終結果卻剛好相反，徹底粉碎了希爾伯特的夢想。
哥德爾對形式主義者方案的衝擊，儘管對更富雄心和哲學衝動的希爾伯特學派是毀滅性的，但也大大推進了他們一些較少雄心的目標，證明論在元數學算術化、可計算理論和遞歸函數中得以具體化。
哥德爾一生在科學上取得了輝煌的成就，他證明了一階謂詞演算的完全性算術形式系統的不完全性，連續統假設和集合論公理的相對協調性等三大難題，被公認為人類歷史上繼亞里士多德和萊布尼茲之後最偉大的邏輯學家。他獨闢蹊徑的研究成果猶如智者的棒喝，斷然終結了數學家追求絕對可靠的數學基礎的幻想"但也使人們對無窮的認識達到了一個更高的境界。他說：“數學不僅是不完全的，還是不可完全的。”
結語
我們在這裡看到數學的矛盾和爭論，看到反覆斟酌的公理。有人疑惑到底這些公理對不對？到底是信仰還是事實，在矛盾之中，哪個是真理？這是對數學不理解了，數學的研究是從一些非常基本的假設中，應用邏輯來看能夠走多遠，能夠得到什麼有用的結論。這些假設只要是自洽的，無關對錯，只關是否有用，能否在應用時被接受。構成數學體系稱為公理的假設，很多是非常基本近乎定義性的同語反覆。還有一些公理被引入，是為了修補支撐已在實踐中被廣泛應用的數學結果和工具。被排斥的一些公理，不是因為錯了，而是假設太強了，在這假設下得不到足夠廣泛有用的結果。
數學中的矛盾既然是固有的，它的激烈衝突——危機就不可避免。危機的解決給數學帶來了許多新認識、新內容，有時也帶來了革命性的變化。把20世紀的數學同以前全部數學相比，內容要豐富得多，認識要深入得多。在集合論的基礎上，誕生了抽象代數學、拓撲學、泛函分析與測度論，數理邏輯也興旺發達成為數學有機體的一部分。
參考文獻：
1.方弦,希爾伯特之夢，以及夢的破滅;
2.郭龍先 黃永，數學史上的哲學絕唱--無窮觀與數學基礎的爭論，《廣西民族大學學報》2014年11月。
中學數學深度研究
排中律指同一個思維過程中，兩個相互矛盾的思想不能同假，必有一真。
回答題目前，我想討論一下說謊者悖論。
一個人說：我說的這句話是謊言。
這個悖論很簡潔，但一點都不簡單。
個人認為：問題出在"這句話"的定義。當說謊者在說話時，"這句話"還處於"產生"的過程中，既然是一個還在產生過程中的概念，我們只能把握到的永遠是它的部分（這句話可以有無數個字符組成，即無限的長），而不是整體，那麼我們就無法對整體進行真假的判斷。當說謊者停止，我們就會"確認"話說完了，此時我們進行驗證真假，就會出現整體上這句話與內容中的"這句話"三個字的"概念滑動"，也就是說我們驗證時，會陷入違反"同一律"的困境。
即對於這個悖論，我們只能做選擇題：
1."同一律"和"矛盾律"選擇一個。
2."同一律"和"排中律"選擇一個。
我會選擇"同一律"。
回到題目，無窮集合指的是元素個數是無窮大的集合。所以無窮集合可以是一個整體概念，也可以是一個構建過程中的概念。
當讀命題時，無限集合是一個整體，當我們驗證時，無限集合是一個構造中的部分。
本號置頂《雜問003》也是討論這方面的邏輯，可以看看。
岐黃新問
在一些情形下的確不能使用排中律，比如，數學分析裡的微分dx，它的長度是零？還是非零？兩個結論都不能用！實際上，它與＂飛矢不動＂悖論是同一個問題。只要是涉及到這一問題，現有的所有數學分析教科書用的都是含糊的語言，形式邏輯立刻就會顯得無能為力。問題就出在人們都是在用形式邏輯語言來展開數學分析，而數學分析是研究運動、研究無窮的，完全靠形式邏輯是有問題的。
