勾股定理被稱為是"千古第一定理"它的姊妹定理--勾股定理的逆定理也毫不遜色，兩者結合起來可謂"珠聯璧合"，相得益彰，現在介紹兩類與勾股定理的逆定理相關的兩個模型及其應用。深化理解這兩個模型，有助於開啟解題思路簡化運算。
一"雙劍合璧"型
基本圖形與結論：如圖1，在四邊形ABCD中，∠B=90°.AB，BC，CD，AD均給出具體數值，先在Rt∆ABC中由圖1勾股定理求出AC的長，若滿足AC²+CD²=AD²，則由勾股定理的逆定理可得到△ACD是直角三角形，即所謂的"共邊用勾逆"，這幅圖看上去像是兩把利劍合在一起，故謂"雙劍合璧"
1．（2019秋•雁塔區校級期中）如圖，在四邊形ABCD中，已知AB＝AD＝2，BC＝3，CD＝1，∠A＝90°．
（1）求BD的長；
（2）求∠ADC的度數．
【分析】（1）首先在Rt△BAD中，利用勾股定理求出BD的長；
（2）根據等腰直角三角形的性質求出∠ADB＝45°，再根據勾股定理逆定理在△BCD中，證明△BCD是直角三角形，即可求出答案．
【解答】：（1）在Rt△BAD中，
∵AB＝AD＝2，
∴△BCD是直角三角形，∴∠BDC＝90°，
∴∠ADC＝∠ADB+∠BDC＝45°+90°＝135°．
2．（2019秋•簡陽市 期末）我市某中學有一塊四邊形的空地ABCD（如圖所示），為了綠化環境，學校計劃在空地上種植草皮，經測量∠A＝90°，AB＝3m，DA＝4m，CD＝13m，BC＝12m．
（1）求出空地ABCD的面積．
（2）若每種植1平方米草皮需要200元，問總共需投入多少元？
【分析】（1）直接利用勾股定理以及勾股定理的逆定理得出∠DBC＝90°，進而得出答案；（2）利用（1）中所求得出所需費用．
【解答】：（1）連接BD，
（2）所需費用為36×200＝7200（元）．
變式．（2019秋•灌雲縣期中）如圖，某住宅小區在施工過程中留下了一塊空地，已知AD＝4米，CD＝3米，∠ADC＝90°，AB＝13米，BC＝12米，小區為美化環境，欲在空地上鋪草坪，已知草坪每平方米30元，試問用該草坪鋪滿這塊空地共需花費多少元？
【解答】：連結AC，在Rt△ACD中，
∵AC²＝CD²+AD²＝3²+4²＝25，∴AC＝5，
∵AC²+BC²＝5²+12²＝169，AB²＝13²＝169，
∴AC²+BC²＝AB²，∴∠ACB＝90°，
該區域面積＝S△ACB﹣S△ACD＝30﹣6＝24平方米，
鋪滿這塊空地共需花費＝24×30＝720元．
二. "費馬點"型
基本圖形與結論：如圖4，P點是等邊△ABC（此特殊幾何圖形還可以為等腰直角三角形或正方形）內一點，PC，PB，PA均給出具體數值，且常是一組勾股數，以BP為一邊，構造等邊△BPE，連接AE（或將△BPC繞點B逆時針方向旋轉60°得到△BEA.等腰直角三角形或正方形一般是旋轉90°），即可由"手拉手"模型得到△BEA≌△BPC.再由"勾逆"得到Rt△AEP。 本圖形中的P點類似於"費馬點"。
以上結論可為計算角度提供依據，幫助理清思路和簡化運算。
3．背景資料：
在已知△ABC所在平面上求一點P，使它到三角形的三個頂點的距離之和最小．
這個問題是法國數學家費馬1640年前後向意大利物理學家托里拆利提出的，所求的點被人們稱為"費馬點"．
如圖①，當△ABC三個內角均小於120°時，費馬點P在△ABC內部，此時∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，此時，PA+PB+PC的值最小．
解決問題：
（1）如圖②，等邊△ABC內有一點P，若點P到頂點A、B、C的距離分別為3，4，5，求∠APB的度數．
為了解決本題，我們可以將△ABP繞頂點A旋轉到△ACP′處，此時△ACP′≌△ABP，這樣就可以利用旋轉變換，將三條線段PA，PB，PC轉化到一個三角形中，從而求出∠APB＝_____；
基本運用：
（2）請你利用第（1）題的解答思想方法，解答下面問題：
如圖③，△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E，F為BC上的點，且∠EAF＝45°，判斷BE，EF，FC之間的數量關係並證明；
能力提升：
（3）如圖④，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，點P為Rt△ABC的費馬點，連接AP，BP，CP，求PA+PB+PC的值．
【分析】（1）根據旋轉變換前後的兩個三角形全等，全等三角形對應邊相等，全等三角形對應角相等以及等邊三角形的判定和勾股定理逆定理解答；
（2）把△ABE繞點A逆時針旋轉90°得到△ACE′，根據旋轉的性質可得AE′＝AE，CE′＝CE，∠CAE′＝∠BAE，∠ACE′＝∠B，∠EAE′＝90°，再求出∠E′AF＝45°，從而得到∠EAF＝∠E′AF，然後利用"邊角邊"證明△EAF和△E′AF全等，根據全等三角形對應邊相等可得E′F＝EF，再利用勾股定理列式即可得證．
（3）將△APB繞點B順時針旋轉60°至△A′P′B處，連接PP′，根據直角三角形30°角所對的直角邊等於斜邊的一半求出AB＝2AC，即A′B的長，再根據旋轉的性質求出△BPP′是等邊三角形，根據等邊三角形的三條邊都相等可得BP＝PP′，等邊三角形三個角都是60°求出∠BPP′＝∠BP′P＝60°，然後求出C、P、A′、P′四點共線，再利用勾股定理列式求出A′C，從而得到PA+PB+PC＝A′C．
【解答】：（1）∵△ACP′≌△ABP，
∴AP′＝AP＝3、CP′＝BP＝4、∠AP′C＝∠APB，
由題意知旋轉角∠PA P′＝60°，
∴△AP P′為等邊三角形，P P′＝AP＝3，∠A P′P＝60°，
易證△P P′C為直角三角形，且∠P P′C＝90°，
∴∠APB＝∠AP′C＝∠A P′P+∠P P′C＝60°+90°＝150°；
故答案為：150°；
（2）EF²＝BE²+FC²，理由如下：
如圖2，把△ABE繞點A逆時針旋轉90°得到△ACE′，
由旋轉的性質得，AE′＝AE，CE′＝BE，∠CAE′＝∠BAE，∠ACE′＝∠B，∠EAE′＝90°，
∵∠EAF＝45°，
∴∠E′AF＝∠CAE′+∠CAF＝∠BAE+∠CAF＝∠BAC﹣∠EAF＝90°﹣45°＝45°，
∴∠EAF＝∠E′AF，易證△EAF≌△E′AF（SAS），∴E′F＝EF，
∵∠CAB＝90°，AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝45°，∴∠E′CF＝45°+45°＝90°，
∵△APB繞點B順時針方向旋轉60°，∴△A′P′B如圖所示；
∠A′BC＝∠ABC+60°＝30°+60°＝90°，
∵∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，∴AB＝2AC＝2，
∵△APB繞點B順時針方向旋轉60°，得到△A′P′B，
∴A′B＝AB＝2，BP＝BP′，A′P′＝AP，
∴△BPP′是等邊三角形，
∴BP＝PP′，∠BPP′＝∠BP′P＝60°，
∵∠APC＝∠CPB＝∠BPA＝120°，
∴∠COP+∠BPP′＝∠BP′A′+∠BP′P＝120°+60°＝180°，
∴C、P、A′、P′四點共線，
變式（1）（操作發現）
如圖1，在邊長為1個單位長度的小正方形組成的網格中，△ABC的三個頂點均在格點上．請按要求畫圖：將△ABC繞點A按順時針方向旋轉90°，點B的對應點為B′，點C的對應點為C′，連接BB′，則∠AB′B＝_____．
（2）（問題解決）
如圖2，在等邊三角形ABC內有一點P，且PA＝2，PB＝√3，PC＝1，求∠BPC的度數和等邊三角形ABC的邊長；
（3）（靈活運用）
如圖3，在正方形ABCD內有一點P，且PA＝√5，BP＝√2，PC＝1，求∠BPC的度數．
【分析】（1）根據旋轉角，旋轉方向畫出圖形即可，只要證明△ABB′是等腰直角三角形即可；
（2）將△BPC繞點B順時針旋轉60°，畫出旋轉後的圖形（如圖2），連接PP′，可得△P′PB是等邊三角形，而△PP′A又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可證），所以∠AP′B＝150°，而∠BPC＝∠AP′B＝150°；過點B作BM⊥AP′，交AP′的延長線於點M，由∠MP′B＝30°，求出BM＝√3/2，P′M＝3/2，根據勾股定理即可求出答案；
（3）將△BPC繞點B逆時針旋轉90°得到△AEB，與（1）類似：可得：∠EBP＝∠EBA+∠ABP＝∠ABC＝90°，求出∠BEP＝1/2（180°﹣90°）＝45°，根據勾股定理的逆定理求出∠AP′P＝90°，推出∠BPC＝∠AEB＝90°+45°＝135°；
【解答】：（1）如圖1所示，連接BB′，將△ABC繞點A按順時針方向旋轉90°，∴AB＝AB′，∠B′AB＝90°，∴∠AB′B＝45°，故答案為：45°；
（2）∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝60°，
將△BPC繞點B順時針旋轉60°得出△ABP′，如圖2，
∴AP′＝CP＝1，BP′＝BP＝√3，∠PBC＝∠P′BA，∠AP′B＝∠BPC，
∵∠PBC+∠ABP＝∠ABC＝60°，
∴∠ABP′+∠ABP＝∠ABC＝60°，∴△BPP′是等邊三角形，
∴PP′＝√3，∠BP′P＝60°，
（3）如圖3，將△BPC繞點B逆時針旋轉90°得到△AEB，
與（1）類似：可得：AE＝PC＝1，BE＝BP＝√2，∠BPC＝∠AEB，∠ABE＝∠PBC，
∴∠EBP＝∠EBA+∠ABP＝∠ABC＝90°，
∴∠BEP＝1/2（180°﹣90°）＝45°，
由勾股定理得：EP＝2，
∴∠AEP＝90°，
∴∠BPC＝∠AEB＝90°+45°＝135°。
反思總結
有關勻股定理及其逆定理組合的問題是各類數學考試中常考熱點題型，求解時，一般先要找出已知的直角三角形，用勾股定理求出一邊，再在另一個三角形中求出三邊之間的平方關係，藉助勾股定理的逆定理判斷此三角形是否為直角三角形，以使問題獲解.
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