现在我们使用的汽车、手机，都安装了全球定位系统，全球定位系统是一个卫星导航系统。现在卫星导航系统，普遍使用美国的GPS，美国人从20世纪70年代就开始研究全球定位系统。现在，中国、欧盟、俄罗斯都开发了自己的导航系统，相信未来，会有更多、更先进的卫星导航系统出现。
太空中的卫星是如何知道我们在哪里的呢？我们在开车的时候，导航发出“向左转”、“向右转”、“直行”这样的指令，是根据什么原理呢？其实，这来自于一个古老的数学知识，那就是三角学。
卫星可以用于导航
今天，我们以《古今图书集成》里的一幅图为中心，讲一讲人类定位的历史。
一个小小的三角形，无非就6个信息，三条边的边长，三个角的度数，有什么好研究的呢？实际上，人类对于三角形的研究历经了几千年的时间，形成了三角学，三角学是数学的一个重要分支。有了解析几何之后，三角学还发展为了三角函数。
第一、勾股定理
《九章算术》是现存的中国古代最古老的数学著作，由西汉的张苍、耿寿昌整理，但里面的很多内容可追溯到上古时期。
《九章算术》的第九章是《勾股章》，《勾股章》的一道题是：
《海岛算经》是对《九章算术》勾股章的发展
今有句三尺，股四尺，问为弦几何？答曰：五尺。
中国古代称直角三角形为“勾股形”，直角三角形较短的直角边为勾，较长的直角边为股，已知“勾”与“股”的长度，求直角三角形的弦（斜边）的长度。勾的平方加上股的平方等于弦的平方。勾股定理在西方称之为“毕达哥拉斯定理”。《九章算术》里认为：“句股各自乘，并，而开方除之，即弦。”中国人和欧洲人，相当于各自独立发现了“毕达哥拉斯定理”，这是人类对于三角学最早的认识。勾股定理的本质就是：在已知直角三角形的两条边的边长的情况下，求另一条边的边长。但是，三角形的形状是千变万化的，角的度数不会总是90度，如何不是直角三角形，如果在已知最少的信息的情况下，求得最多的信息呢？
第二：三角学
三国时期的数学家刘徽所著之《海岛算经》是《九章算术》之《勾股章》的延续与发展，这表明中国古代的勾股定理，已发展为了三角学。《海岛算经》里的九个问题，都是关于三角学的。
《古今图书集成》里的望海岛
《海岛算经》里的第一道题是“望海岛”，海岛究竟有多远，有多高，隔着茫茫大海，无法实地测量，怎么用最简单方法，得到海岛的距离与海拔呢？刘徽在《海岛算经》里介绍了一个办法，在大海的这一边立一个标杆，标杆与地面垂直，呈90度，人眼贴地观察，使得标杆的顶端与海岛的最高峰对齐，此时，人眼观察所在地与标杆之间就有一段距离，这个距离可以实地测量，如为123步，那么，再向后移动标杆1000步，按照前面的方法，再测出人眼观察所在地与标杆之间的距离，如为127步，那么，就可以得出海岛的距离与高度了。
望海岛转换成的几何图形
我们把“望海岛”的题目转换为图形，就一目了然了，如图，标高的高度CD、EF肯定是已知的，测出DG、FH、DF的情况下，我们根据相似三角形的定理，很容易知道AB和BD的长度了。根据这个方法，我们同样可以测出一座山峰、一座高塔的高度。
第三：三角函数与解析几何
如图所示的三角形是三个比例完全相同的三角形，那么，它们的三个边的长度的比值都是相等的。这就是我们在中学数学中所学到的三角函数。
假如∠A＝30°，那么CB与AC的比值，就是0.5，即sinA＝0.5。另外，两个直角三角形的边长的比值与这个三角形的边长的比值是一样的。sinA、sinD 、sinG都是0.5。
三个比例相同的直角三角形
由于比值是一样的，那么，在直角三角形中，知道了一个角的度数和另外任意一条边的长度，其他的角的度数与边的长度，就都可以知道了，这就是我们所学的正弦（sin）、余弦（cos）、正切（tan）、余切（cot）。
正弦（sin）、余弦（cos）在定位中有什么应用呢？那就是我们知道了A点与B点的距离，并且确定了A点与C的角度，那么，C点有多高以及A点与C点的距离，就显而易见了，而无需实际测量，这就需要制作三角函数表，从1°到90°的数值都列入表中。
有了三角函数表之后，“望海岛”其实还有一个更简便的方法，那就是测出DG与CG之间的角度，根据三角函数的定理，马上就能得到斜边CG的长度，再根据相似三角形的定理，得到AB和BD的长度。
研究三角学的古希腊天文学家喜帕恰斯
想要马上知道DG与CG之间的角度，就必须制作出一个仪器，这个仪器就是六分仪和八分仪。
我们仰望星空，两个星星之间的距离是多少，根本无法实地测量的。那么，如何知道两个星星之间的距离呢？我们用六分仪或者八分仪测算出星星与地平线之间的角度，或者两个星星之间的夹角，就可以知道两个星星的距离了。
六分仪的原理最早是由牛顿提出来的，后来，还发展为了八分仪。六分仪，就是把一个360度的圆周分为六等分，角度为60度；八分仪就是把一个360度的圆周分为八等份，角度为45度。
牛顿
六分仪、八分仪就是大航海时代的GPS，人们可以根据恒星与地平线之间的角度，确定航船在地球上的纬度，从而为自己定位。
六分仪在实际的操作过程是十分复杂的，我们不是学测绘学和天文学的，无需知道其中的复杂原理。我们来看一个有趣的历史故事，就是知道三角函数确定位置的原理了。
地球距离太远有多远，是人类一直想要得到的答案，如何测量呢？无法测量！还是需要根据三角函数来计算。科学家是通过金星凌日的现象，首次测算出了日地距离，此事发生在1761年至1769年，因为当时发生了金星凌日的天文现象。人们从西比利亚、北美洲、澳大利亚、南太平洋等地观察了同一场金星凌日，然后，根据三角函数，计算出了日地距离，这就是三角测量法。我们以海上航船的位置，来简单说明一下这个原理。
C点是海船
我们站在海边，有一艘航船正在驶来，我们怎么知道这艘船与海岸的距离呢？如图所示，假设有两个人站在A点和B点，航船的位置在C点，CE就是船与海岸的垂直距离。那么，我们只要测算出A点与B点的距离即AB的长度，并且测算出CA与BA之间的夹角，就可以得出图上三角形所有的信息了。所以，三角测量学，最重要的是精确地测算出两个物体之间的夹角，夹角度数越精确，距离就越准确。
18世纪，关于金星凌日的数学计算
那么，手机是如何定位的呢？我们在观看侦探剧的时候，常常遇到这样一个情景：警察需要根据犯罪嫌疑人使用的电话的位置，确定犯罪嫌疑人的大致位置，这同样需要用到三角函数。手机接受信息，需要有信号点发出信号，那么，只要知道了与这部手机最近的三个信号发射点的位置，并且测算出了这部手机与最近的三个信号点的距离，就可以知道这部手机的位置了。如图所示：三个信号发射点，分别为A、C、D，手机的位置是B，那么，以A、C、D为圆心，以AB、CB、DB为半径，画一个圆，这三个圆相交于B点，B的位置就是手机的位置。在坐标轴中，信号发射点A、C、D的坐标位置是已知的，那么，以A、C、D为圆心，AB、CB、DB为半径，画一个圆，三圆相交于B点，B点的坐标，是可以用解析几何的方法求得的。
三角定位法
当然，如图所示的案例，是理想状态，考虑到信号的物理损耗以及测量的误差，有的时候，三个圆并不相交于一点，即使不相交于一点，那么在三个圆的交集处，也可以大致寻找到手机B的位置。这里面需要大量的计算，现在这种计算，人类已经交给了计算机了，但是，其核心仍然是三角函数和三角测量法的运用。
用解析几何的办法，求坐标
如同所示的案例，是二维坐标，是通过信号发射点寻找手机的位置，理论上来说，是地面与地面构成的二维坐标。现在有了全球定位系统，全球定位系统使用的是卫星，太空中的卫星与地面，构成的则是三维坐标，是一个立体画面。那么，在三维坐标中，求一个点的位置，计算程度更复杂了，好在，现在有计算机，计算机的运行速度非常快，能够即使计算出结论，但这些复杂的计算过程，其核心还是使用了以正弦函数和余弦函数为中心的三角学的知识。
全球定位系统，需要4颗卫星实时定位手机的位置，手机B到卫星A、卫星C、卫星D的距离是可以测量的，卫星A、卫星C、卫星D的坐标肯定是已知的，那么，用解析几何、三角学的方法，就可以求得B的坐标。但为什么卫星定位，需要4颗卫星呢？
在没有卫星的年代，人们根据三角学知识定位
卫星A、卫星C、卫星D是负责测量的卫星，卫星是通过电磁波测得距离，得出坐标点的数据的，电磁波的传播是有速度的，太空与地面的距离所产生的的误差是相当可观的，需要有另外一颗卫星E来提供时间参数，通俗一点来讲，卫星E是定时的。
当然，图中所描述的三角定位法，是理想状态，在实际的操作过程中，三个圆不一定会相交于一点，这涉及到测量的技术问题了。但是，无论怎么样，都需要用到三角学的知识。
测量为什么非要用到三角学呢？因为仅仅已知B点与A点的距离，我们是无法得到B点的准确位置的。我们想象一下，假如在一个城市中，我们要找一个朋友，他的位置是在B点，我的位置是在A点，他只告诉我，他与我的距离，什么都没说，那么，我只能以我的位置为圆心，以我与他的距离为半径，画一个圆，他的位置可以是这个圆周上的任意一点。
仅已知距离，B点位置是圆的任意一点
如何才能进一步确定呢？他还必须告诉我，他与另外一个朋友的距离，假设另外一个朋友的距离是C点，那么，再以C点为圆心，以CB为半径画一个圆，两个圆相交的位置，必然是朋友B的位置。但是，两个圆相交，有两个点，他的位置还是无法确定的。
B点可以是两圆相交的两个点
他还必须告诉我，他与朋友D的距离，那么，再以D点为圆心，以DB为半径画圆，三个圆就相交于一个点了，朋友B的坐标，就明确了。
三个圆相交
然而，在实际生活中，没有谁那么无聊，去朋友家，只告诉你三个点的距离，让你画圆，再用三角学和解析几何的办法，求坐标。我们一般都是用聊天软件实时定位，然而，实时定位的背后，则是计算机的大量的数据运算，这些数据运算的核心，就是三角学。实时定位必须配合已知的地图，坐标要落实到地图上，才可确定位置，而人类制作地图的过程，就是运用三角学的过程。
引入坐标轴，可以计算每个点的坐标，坐标就是位置
三角学的实质，就是在已知最少量的情况下，求得最多的未知量，这是人类一直追求的一个目标之一，花最小的成本得到最大的利益。
我们把历史与数学放在一起学，就会觉得数学非常的有趣。
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