①當▽=0，有唯一一個實數根;

②當▽>0，有兩個不同的實數根;

③當▽<0，沒有實數根(即實數根不存在)。

一般地，▽=b^2-4ac≥0，就成為方程有實數根的判定方法，也可做為某些最值題的解題方法。

下面，我們就來看一類最值問題，是如何用判別式▽≥0來解決的！

例1 . 已知x^2+y^2=16，求x-y的最大值。

分析:令ⅹ-y=t，則y=ⅹ-t，原方程可為

ⅹ^2+(ⅹ-t)^2=16，即有2ⅹ^2-2tⅹ+t^2-16=0，

這是關於ⅹ的一元二次方程，顯然有實數根，因ⅹ^2+y^2=4^2，x、y組成的點的軌跡實質是以半徑為4的圓，其原心為座標原點。

由▽≥0，知(-2t)^2-4x2x(t^2-16)≥0，即

-t^2+32≥0，故t^2≤32，即-4√2≤t≤4√2。

所以有，-4√2≤x-y≤4√2，即ⅹ-y的最大值為4√2。

例2.已知實數x、y、z，滿足x+y+z=5，且xy+yz+zⅹ=3，求z的最大值。

分析:例1中出現x、y、t三個未知數，我們用判別式求了t的最值，這題中有x、y、z三個未知數，我們仍用判別式法來求z的最值。

解:由x+y+z=5，知y=5-x-z，

將其代入ⅹy+yz+zx=3，得

x(5-x-z)+(5-ⅹ-z)z+zⅹ=3，

化簡後得關於x的一元二次方程，

x^2-(5-z)x+(z^2-5z+3)=0，

因ⅹ為實數，故▽≥0，即

(5-z)^2-4(z^2-5z+3)≥0，

化簡得關於z的一元二次方程，

3z^2-10z-13≤0，

令3z^2-10z-13=0，有

(z+1)(3z-13)=0，即有

z1=-1，z2=13/3。

所以，由3z^2-10z-13≤0的圖像(去掉z軸上面的部分)知

-1≤z≤13/3。即z的最大值為13/3。

由例1，例2可知，用判別式法是解決最值的一種好方法，大家可以用此法來試試下面這道求最值的題。

練一練已知ⅹ^2+y^2=25，求①x+y的最大值，②x-y的最小值。

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