牛顿（Isaac Newton）在回到家乡躲避瘟疫的三年里做出了很多重要的贡献， 比如：发现万有引力定律，发明微积分。这些贡献是大众熟知的，在很多的科学文献以及课本中都能看到这些内容的介绍， 其实在那三年里牛顿在代数学上也做出了一个很杰出的成果，这个成果就是：广义二项式定理。
牛顿
广义二项式定理虽然没有万有引力定律以及微积分那样让大众熟知，但是在代数学中确有着非常重要的应用，这个定理可以帮助我们理解无穷级数。这个定理的内容如下图所示：
牛顿广义二项式定理
莱昂哈德·欧拉
这一定理是帕斯卡二项式定理的推广，更一般的情况是任意实数次的情况，虽然牛顿在1664年至1665年这一段时间给出了这个定理，但是却没有给出证明，所以严格地讲在牛顿的时代这一命题只能说是猜想，有理数次幂的情况的证明由莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）完成，他为了证明牛顿的命题首先构造了一个函数f性质如下图所示：
欧拉构造的函数
我们知道当m与n为正整数时，我们得到的是帕斯卡的二项式定理，我们可以把这些展开式写成如下图形式，我们之所以可以写成无限项的形式是因为如果（x+1）的n次幂的展开式如果进行升幂排列，第n+2项开始系数将会出现（n-n）这个因子，所以之后的项都为0了，因此上图的内容可知在n或m为正整数时展开式为有限项 。
如果m与n为正整数，那么根据帕斯卡的二项式定理可以将f（m）与f（n）写成如下图的形式：
帕斯卡二项式定理应用
由上图我们知道当m和n为正整数时，f（m）乘f（n）等于f(m+n），我们知道当f（m）乘f（n）相当于是做了如下所示的乘法：
欧拉证明广义二项式定理核心法则
由上图可知，当整数m与n替换为有理数m1与n1时（甲）这一行的左右两边是相等的，这是一个基本的代数学原理！因此我们得到了f的更多的性质，欧拉就是利用上图展现的法则巧妙地证明了牛顿广义二项式定理！
当m与n为任意的有理数时，根据f的性质可知下图所示的结论：
函数f的性质推广
欧拉首先考虑的是正有理数次幂的情况，我们知道任何的正有理数q都可以表示成k/h的形式,其中k与h都是正整数，根据函数f的性质我们可以得到当函数自变量为k/h时函数的展开式，接着欧拉利用函数f性质的结论建立了f（q）与f（k）之间的关系，因为f（k）的展开是（1+x）的 k次幂的展开，而（1+x）的 k次幂等于f（q）的h次方，因此我们可以求得f（q）等于（1+x）的 k次幂的h次方根，因此证明了正有理数次幂情况下的二项式定理，具体步骤如下图所示：
正有理数次幂二项式定理证明
为了证明当二项式幂指数为负有理数时的情况，实际上我们只要研究当f（-n)与f（n)的关系就可以了，其中n为正有理数，具体的推导过程如下图所示：
这样欧拉就证明了当二项式幂指数为有理数时的广义二项式定理！
牛顿提出了广义二项式命题，而欧拉证明了这一命题使之成为定理，两位数学家虽然不是生活在同一时代，但是都对二项式定理的研究做出了自己的贡献，可谓是一次跨时空的合作！
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