当我们认识自然数之后，我们就会从1开始数数，1、2、3、4……，于是我们发现，
这么数下去永远数不到头啊，无穷无尽，因而诞生了一个叫做“无穷”的概念，那无穷是什么？01、无穷的初步试探
其实古人也早就提出过关于无穷的思考，庄子曾经说过：一尺之木，日取其半，万世不竭。
一尺长的木头，每天砍一半，那么将取之不尽用之不竭，永远都用不完，听起来好像是这么回事，我每天只取一半，虽然会越来越小，却始终会有。
就在差不多同时代的西方，古希腊数学家芝诺也提出过类似这个问题的悖论，以其名字命名故而称为“芝诺悖论”，芝诺一生提出过40多个悖论，其中也有一些涉及到无穷的概念，举两例。
1、二分法
在一个移动的物体在到达终点之前，必须得到达这段路程的中点，接着以中点为新的起点，在到达终点之前必须达到新的中点，以此类推，这个物体只能不断地到达中点却永远也到达不了终点。
按照这么个理论，我永远出不了我家大门，地铁永远到不了下一站，甚至降雨永远落不到地上，那这个世界不乱套了嘛，显然这并非是事实，所以才叫悖论。不用惊慌，真实的世界好着呢。
2、阿基里斯与乌龟
阿基里斯是古希腊的英雄，以长跑著称，芝诺表示，兄弟不是我磕碜你，你连一只乌龟都追不上，他解释到，假如乌龟在阿基里斯前方，两者同时开始赛跑，如果阿基里斯想追上乌龟，就必须先到乌龟的位置，而这段时间乌龟必然会向前跑一段距离，如果阿基里斯又跑到那个位置，乌龟又会往前挪一点点。
以此类推，虽然说两者之间的距离不断缩小，但是阿基里斯永远追不上乌龟。
两者的共同之处在于，需要在有限的时间内完成无数个运动的过程，虽然芝诺也知道这个说法肯定不对，但他并不明白为什么可以这样，于是索性让大家也一块不明白。
02、解密芝诺悖论
我们先从第二个问题着手，假设乌龟 领先阿基里斯1米，阿基里斯速度为2米每秒，乌龟速度为1米每秒，为了方便计算所以如是设计数据，
第一个运动过程需要½秒（阿基里斯到达龟神的起点，乌龟前进½米），
第二个运动过程需要¼秒（阿基里斯到达龟神运动一的地点，乌龟前进¼米）
第三个运动过程需要⅛秒（阿基里斯到达龟神运动二的地点，乌龟前进⅛米）
以此类推，
阿基里斯需要多久才能追上乌龟呢？
先把这些时间加起来：
½+¼+⅛+……
这么一直加下去会等于多少呢？会是无穷大还是会等于一个数值？这是芝诺无法解决的问题，也是他提出这个悖论的依据，那么这个结果到底会是什么样呢？
先考虑
的结果，根据等比数列的求和公式，可知结果为
秒，那么一直加下去结果会等于多少呢？
其实距离正确答案已经非常接近了，但差的这点却等到好久之后才真正解决——极限思想的出现。
当n趋近于无穷大的时候，我们会认为
等于0，所以
等于1。
运用极限的思想，我们可以将有限求和
拓展到无限相加
所以无穷相加的结果并非也是无穷，可以是个确定的数！！
然而这放在芝诺的时代，由于这方面的理论基本为零，因此他才能以此来忽悠大众，因为理论的缺失使得无法给他正面一击。
当然，也不是所有人都束手无策，最早作出这方面探索的应属阿基米德。
03、阿基米德有话要说
两个世纪后，阿基米德在求证抛物线面积的时候，得出：抛物线围成的面积正好等于内接三角形面积的三分之四倍。
阿基米德说道，三角形面积会近似等于抛物线围成的面积，通过不断取中点的方式不断逼近抛物线围成的面积，而每次增加的面积都是前一次的四分之一（红色部分面积为绿色部分面积的四分之一），所以，假设△ABC的面积为1，那整个面积便是：
在论述最后结果的时候，同样因为没有极限的理论 ，面对质疑，阿基米德解释道，你无法说明
也无法证明
所以结果只能是
虽然并没有解释明白，但阿基米德肯定了这个计算的结果，在正确的方向迈出了坚实的一步。
04、几何级数
还是借助图形来解释问题吧，这样看图就行了，如下，作边长为1的正方形，随后不断对其进行切割，
于是便有了：
同样阿基米德的问题也可以作去下设计，
作一个面积为三分之四的正方形，如下：
第一块面积占整体的¾，
所以第一块面积为：
第二块面积为：
第三块面积为
以此类推，再把每块面积相加，
我们可以推出：
为纪念这一和式的
几何图形解读，我们也将其称为几何级数，一般式：
有限可以相加，无限同样也可以，芝诺悖论给我们展示了最早对于无穷的思考，虽然其结果看似荒谬，也正因如此，才激励着后代不断地投身其中。2000后，希尔伯特、康托尔等一批数学家再次将无穷摆在世人眼前，连续统假说也位列20世纪待解决的23大数学问题之首。
而悖论，其本身可能并没有多大的意义，但总能催促着我们思考。
世上没有绝对的真理。
不知道这句话，是不是绝对的真理？
谢谢阅读，以上都是瞎编的。
#疫情期间一起学#
閱讀更多 小果數學 的文章
