艾伯史密斯

數學自誕生以來2000多年，誕生了無數精美絕妙又讓人拍案叫絕的證明，這也是數學讓很多人如痴如醉的原因所在。從最初等數學中的勾股定理，到大學階段的微積分，抽象代數，拓撲等等，這樣的例子舉不勝舉。我這裡不列舉具體例子，只是為大家推薦一本專門講一些題目具體證明過程的書。

本書介紹了35個著名數學問題的極富創造性和獨具匠心的證明。其中有些證明不僅想法奇特、構思精巧，作為一個整體更是天衣無縫。難怪，西方有些虔誠的數學家將這類傑作比喻為上帝的創造。這不是一本教科書, 也不是一本專著，而是一本開闊數學視野和提高數學修養的著作。希望每一個數學愛好者都會喜歡這本書，並且從中學到許多東西。

本書的英文原著第一版於1998年出版。隨即受到數學界的廣泛好評，並被陸續翻譯成了十餘種不同的文字，其中包括法文，德文，意大利文，日文，西班牙文和德文等。

該書從最簡單的素數有無窮多個的證明談起，內容涵蓋了數論，幾何，分析，組合數學，圖論五大領域35個經典問題，很多問題探討得十分深入。這35個問題如下：

第1章 素數無限的六種證明

第2章 Bertrand假設

第3章 二項式係數(幾乎)非冪

第4章 表自然數為平方和

第5章 有限除環即為域

第6章 一些無理數

第7章三探π²/6 幾何

第8章 Hilberlt第三問題：多面體的分解

第9章 平面上的直線構圖與圖的分解

第10章 斜率問題

第11章 Euler公式的三個應用

第12章 Cauchy的剛性定理

第13章 相切單純形

第14章 每一個足夠大的點集都會生成鈍角

第15章 Borsuk猜想

第16章 集合，函數，以及連續統假設

第17章 不等式頌

第18章 關於多項式的Polya定理

第19章 Littlewood和Offord的一個引理

第20章 餘切與Herglotz技巧

第21章 Buffon的投針問題

第22章 鴿籠與雙計數

第23章 有限集上的三個著名定理

第24章 洗牌

第25章 格路徑與行列式

第26章 關丁樹計數的cayley公式

第27章 填充拉丁方

第28章 Dinitz問題

第29章 恆等式與雙射

第30章 平面圖的五色問題

第31章 博物館的保安

第32章 Turan的圖定理

第33章 無差錯信息傳輸

第34章 朋友圈與交際花

第35章 概率(有時)讓計數變得簡單

有些問題難度較大，適合數學專業的人來閱讀，相信讀完本書，一定會受益頗豐的。

數學救火隊長

看了幾個回答談到了反證法，想起了我一直的一個疑惑，和題目關係不是很大，我覺得反證法本身可能就有問題。

我高中的時候有一次數學練習題，有一道證明題，具體我忘了，總之大概就是給了一些條件，最後證明k>2，我當時就沒有解出來，後來老師講題的時候用的反證法，倒推後證明k<=2時與題目給定的條件不一致，所以k>2成立，其實這種題高中時倒也常見，但我當時突然有點疑問，就問了老師一個問題，如果我不去證明k<=2時不符合給定的條件，而是去證明k<=1時不符合給定的條件（這個肯定是成立的，因為k<=2的區間包含k<=1），那麼這個題不就無法證明了？怎麼確認“2”是恰好的分界點？也許還有"2.1"、“3”啊，老師讓我證明一遍，我用反證法很快照著老師的思路證明k<=1時，不符合題目給定的條件，所以k>1(事實上，k>1包含k>2)，老師當時也有點懵，我當時學習不是那種很好的，老師就說讓我別考慮別的數字，既然題目是2，就用2。所以，我一直到現在都覺得反證法本身是有侷限的，甚至是有問題的。當然，一家之言，我本身數學也不大好，如果不對請勿噴，如果有人能解答疑惑，萬分感謝。

看了很多回復，我覺得應該重申一下我要說的關鍵，我不是說這個題怎麼樣，我是對反證法這種證明方法有異議，因為這種證明題，一般都是根據條件推導出結論，幾乎沒用過反證法。如果把這個題改一下，其他條件都不變，但改成不知道結論的求解題，大家隨便假設一個數，然後反證法證明了，這個過程也沒有問題，但明顯不對，再說如果我反證法證明了k>3，那算不算對？如果一個證明方法等得出很多不同的結果，還有什麼意義？這裡重點是那個恰好的節點，如果能證明2就是那個節點，那就不需要用反證法了。

流落星空

說一個小時候，寒木死活想不明白，僅靠記憶做題……

長大了，看到證明後，才心服口服的東東。

證明過程超級簡單，小學三年級的人都能看懂。

除數不能等於零！

這是小學老師告訴我們的，但那時，他們很少告訴我們，這是為什麼。

他們大多隻會一邊敲著黑板一邊大喊：除數等於零，沒有意義！沒有意義！

這個“沒有意義”實在是太難以理解了，折磨了寒木很長時間。

現在，我們用反證法來證明一下：

假設，0可以作為除數，則：

0×1=0

0×2=0

所以：

0×1=0×2

因為0可以作為除數，所以……

兩邊再除以0，得：

化簡一下：

得：

1=2

矛盾，所以，0不能作為除數。

小學六年級的時候，如果老師能給我們這麼證明一下，我們就不會去深入思考，那個“沒有意義”到底是個什麼意義了。

最後，來一個趣味題。

話說，有4個算命先生，分別是A、B、C、D先生。其中：

A先生：準確率10%，收費5元；

B先生：準確率45%，收費10元；

C先生：準確率60%，收費15元；

D先生：準確率80%，收費20元；

那麼，你該選擇哪個呢？既要追求準確率，還要追求性價比，能同時做到嗎？

答案太容易了。

這樣去思考，A先生的準確率只有10%，那就說明，他的錯誤率就是：

1-10%=100%-10%=90%

因此，你每次去找他算命，如果他說：

小夥子，你今年沒有桃花運，要2020年才有哦。

則：

你今年擁有桃花運的概率是90%。

但你只需要花5塊錢。

寒木釣萌

我業餘數學興趣者。有人證明：0.999…=1 證明大致可為

因為 1=3/3

=1/3+2/3

=0.333…+0.666…

=0.999…

所以 0.999…=1

我以為上述證明漏洞，嚴謹地講 1/3、2/3應當表述為：

1/3=0.333…+無窮小量

2/3=0.666…+無窮小量

其符號…僅表述了無限循環數，

所以 1=1/3+2/3

=0.333…+無窮小量+0.666…+無窮小量

=0.999…+無窮小量

而 0.999…不等於0.999…+無窮小量，

所以 0.999…不等於1

以上為我業餘數學興趣者陋見，喜諸位老師指正。

甘雲雄

我中學的時候，背平方和公式，a加b的平方=a平方+b平方+2ab，我總忘記那個2，感覺這個式子裡這個2很突兀，完全沒道理；直到看見一本輔導書，裡面有個圖，用長方形面積完美地解釋了這個式子，我印象無比深刻，以至於現在還能畫出來。

點點滴滴的低調

生日悖論，一個班有50個學生，存在相同生日的概率為97%。怎麼算的很簡單，但就是結果讓你想不到。

陳卓0119

數學一向以嚴謹的思維著稱，每一步推理都需要嚴格的理由。但在數學歷史中，漏洞百出的數學推理也頻頻出現。有趣的是，即使是這些不嚴格的思路也充滿著智慧，在數學中的地位不亞於那些偉大的證明。今天筆者舉例幾個經典讓人拍案叫絕的異類證明，來說明在數學裡證明有時也是可以耍流氓的。

1.勾股定理得的無字證明

這個大家小學就學過的古老定理，有著無數傳奇故事。我可以很隨意的寫出她的10個不同的證明方法。而路明思（Elisha Scott Loomis）在 《畢達哥拉斯命題》（ Pythagorean Proposition）提到這個定理的證明方式居然有367種之多，實在讓人驚訝。這裡給出一個不需要語言的證明方法。

最直觀的證明：

實際上勾股定理是餘弦定理的一種特殊情況，而餘弦定理的證明，同樣可以不用語言。

2.歐拉的流氓證明法

　　在數學史上，很多漂亮的定理最初的證明都是錯誤的。最典型的例子可能就是 1735 年大數學家歐拉（Euler）的“證明”了。他曾經仔細研究過所有完全平方數的倒數和的極限值，並且給出了一個漂亮的解答：

這是一個出人意料的答案，圓周率 π 毫無徵兆地出現在了與幾何完全沒有關係的場合中。歐拉的證明另闢蹊徑，採用了一種常人完全想不到的絕妙方法。他根據方程 sin(x)/x = 0 的解，對 sin(x)/x 的級數展開進行因式分解，再利用對比係數的方法神奇地得到了問題的答案。不過，利用方程的解進行因式分解的方法只適用於有限多項式，在當時的數學背景下，這種方法不能直接套用到無窮級數上。雖然如此，歐拉利用這種不嚴格的類比，卻得出了正確的結果。歐拉大師耍了一個漂亮的流氓。

3.幾何平均值小於算術平均值

這是不等式中最重要和基礎的等式：

它也可以通過圖形來證明。

注意到△ABC∽△DBA ,可以很輕鬆地得到AB=√ab。剩下的就顯而易見了。

4.最受數學家喜愛的無字證明

1989 年的《美國數學月刊》（American Mathematical Monthly）上有一個貌似非常困難的數學問題：下圖是由一個個小三角形組成的正六邊形棋盤，現在請你用右邊的三種（僅朝向不同的）菱形把整個棋盤全部擺滿（圖中只擺了其中一部分），證明當你擺滿整個棋盤後，你所使用的每種菱形數量一定相同。

《美國數學月刊》提供了一個非常帥的“證明”。把每種菱形塗上一種顏色，整個圖形瞬間有了立體感，看上去就成了一個個立方體在牆角堆疊起來的樣子。三種菱形分別是從左側、右側、上方觀察整個立體圖形能夠看到的面，它們的數目顯然應該相等。

它把一個純組合數學問題和立體空間圖形結合在了一起，實在讓人拍案叫絕。這個問題及其鬼斧神工般的“證明”流傳甚廣，深受數學家們的喜愛。死理性派曾經討論過 這個問題 。同時它還是死理性派logo的出處。

5..棋盤上的數學證明

在一個8×8的國際象棋棋盤上，我們可以用32張多米諾骨牌（是兩個相連正方形的長方形牌）覆蓋整個棋盤上的64個方格。如果將對角線上的兩個方格切掉，剩下來的62個格子還能用31張骨牌覆蓋住嗎？

答案是不能的。每一張骨牌在棋盤上必是覆蓋住兩個相鄰方格，一白一黑。所以31張骨牌應該可以蓋住31個黑格和31個白格。而這被切了角的棋盤上的方格有32個是一種顏色，另一種顏色是30個，因此是不能被31張骨牌覆蓋的。

但是如果我們切掉的不是顏色相同的兩個呢？假如我們從棋盤的任何部位切掉兩個顏色不同的方格，那麼剩下來的62格是否一定能被31張骨牌完全蓋住？我可以告訴你這是一定能做到的,並且關於這個結論，存在一個非常漂亮的證明。建議讀者在繼續往下閱讀前，可以先自行思考如何證明這個結論。

上圖就是那個漂亮的證明。不妨對它再贅述兩句。粗黑線條將整個棋盤轉變為一條首尾相連、黑白格相間的封閉路線。從這棋盤上切掉任何兩個顏色不同的方格，會讓這個封閉線路變成兩段線路（如果切掉的方格是相連的，那就是一條線路）。在這兩段（或一段）線路中，兩種顏色的格子數量都是偶數，故分別都可以被若干張骨牌覆蓋。從而證明整個棋盤可以被31張骨牌完全覆蓋。

這個著名的棋盤問題是數學遊戲大師馬丁•加德納提出的，而上述精妙絕倫的證明則是數學家哥莫瑞（Ralph Gomory）找到的。它們後來被收錄在《意料之外的絞刑和其他數學娛樂》這本書裡。

6.旋輪線的面積求解

車輪在地上旋轉一圈的過程中，車輪圓周上的某一點劃過的曲線就叫做“旋輪線”。在數學和物理中，旋輪線都有著非常重要而優美的性質。比如說，一段旋輪線下方的面積恰好是這個圓的面積的三倍。

這個結論最早是由伽利略（Galileo Galilei，1564-1642）發現的。不過，在沒有微積分的時代，計算曲線下方的面積幾乎是一件不可能完成的任務。伽利略是如何求出旋輪線下方的面積的呢？

他的方法簡單得實在是出人意料：它在金屬板上切出旋輪線的形狀，拿到秤上稱了稱，發現重量正好是對應的圓形金屬片的三倍。

在試遍了各種數學方法卻都以失敗告終之後，伽利略果斷地耍起了流氓，用物理實驗的方法測出了圖形的面積。用物理實驗解決數學問題也不是一件稀罕事了，廣義費馬點（generalized Fermat point）問題就能用一套並不複雜的力學系統解出，施泰納問題（Steiner tree problem）也可以用肥皂膜實驗瞬間秒殺。

中學數學深度研究

提一下勾股定理吧！畢竟——

不知道，你有沒有注意到：在數學上，經常提到割補法！

割補大法就是，先是分割一下，再來個拼接。咦！瞬間眼前一亮——解決問題的思路也隨之蹦出來了！

比如說，在小學，就經常用到割補法了。這裡以梯形面積公式的推導為例，對梯形來個切割，再拼一下，就變成三角形了！而三角形面積公式是已經學過的了，所以梯形面積公式也就出來了。

這就是割補法的妙處。言歸正傳，說回鼎鼎大名的勾股定理！

特意畫了個圖，用數學語言來表述勾股定理：

用文字來說：勾股定理就是直角三角形兩直角邊的平方和等於斜邊的平方。

至於勾股定理的證明方法，據說有四百多種！神奇吧！

我們知道，在教材當中，是採用我國古代數學家趙爽的證明方法，也就是我們所熟悉的趙爽弦圖。私以為這個證明很是經典~其證明思路，請見下圖：

也就是將兩個正方形進行分割，分割成四個全等的直角三角形和一個小正方形，再進行拼接，拼接為另一個正方形。這裡便是利用圖形分割前後的面積不變，來證明勾股定理。

勾股定理，有多個別稱，畢達哥拉斯定理是其一。既然說是畢達哥拉斯定理，那就來一個畢達哥拉斯證法吧！

被嚇跑了嗎？我們還是來個簡單點的！看下圖：

這裡可以看作是：從一個大正方形裡分割出四個全等的直角三角形，用這四個直角三角形來拼接。不管在這個大正方形裡怎麼拼，大正方形的面積是固定不變的，四個三角形的面積也是不變的，那麼，剩下部分的面積自然也是相同的。

如果覺得上面繞，那就看這句：簡單點，只看空白部分，白色部分的面積是相同的。

所以，勾股定理得證！

啊K數學

有關數學公式的證明很多，下面介紹幾個常見公式的巧妙證明過程。

（1）自然數的立方和=自然數之和的平方

上述等式的左邊為自然數的立方和，等式的右邊為自然數之和的平方。雖然通過分別推導出左右兩邊的計算公式就能證明該等式，但通過如下的圖形很直觀地就能證明上式：

把自然數立方和的圖形平鋪看來，其中的正方體數量剛好是就是自然數之和的平方，所以就能證明上述等式成立。

（2）勾股定理

這個公式為勾股定理，我國在商朝時就已經發現了直角三角形的一個特例——勾三股四玄五，後來的中外數學家通過各種方法來證明這個公式。下面要介紹的是加菲爾德證法的變形方法，這可以很容易證明勾股定理：

大正方形的面積為：

(a+b)^2

大正方形的面積也等於四個三角形的面積以及小正方形的面積之和：

4×(1/2ab)+c^2

由此可得下式：

(a+b)^2=4×(1/2ab)+c^2

化簡之後，即可得勾股定理：

a^2+b^2=c^2

（3）歐拉恆等式

這個公式就是著名的歐拉恆等式，它被譽為最美的數學公式。一個十分簡單的公式就結合了數學中最重要的常數——自然常數e、虛數單位i、圓周率π、自然數1、自然數0，以及最重要的數學符號——加號+、等號=。

歐拉恆等式源自於如下的歐拉公式：

對歐拉公式的左邊e^(iθ)進行泰勒展開可得：

再分別對cosθ和sinθ進行泰勒展開可得：

顯然，cosθ與sinθ之和剛好等於e^(iθ)，由此就能證明歐拉公式成立。再令歐拉公式中的θ=π，即可得下式：

e^(iπ)=-1+0

對上式進行移項，最終就可以推導出歐拉恆等式的常見形式。

（4）證明圓周率是無理數

圓周率是無理數的證明方法不少，下面要介紹的是數學家Ivan M. Niven給出的反證法，這種方法簡單而又巧妙。

倘若π為有理數，必然存在整數a和b，使得下式成立：

π=a/b

構造如下兩個函數：

其中n為正整數。

顯然，f^k(0)、f^k(π)、F(0)以及F(π)都為整數。而且f(x)和f^k(x)都會滿足f(x)=f(π-x)，它們都在x=0以及x=π處可積。

再構造函數G(x)=F'(x)sinx-F(x)cosx，並對其進行求導可得：

對上式兩邊從0到π都進行積分可得下式：

因為F(0)以及F(π)都為整數，故F(π)+F(0)亦是整數。當x∈(0, π)時，顯然有f(x)>0且sinx>0，故f(x)sinx>0，所以F(π)+F(0)>0，並且f(x)sinx在[0, π]上的積分為正整數。

當x∈(0, π)時，顯然有a-bx

關鍵字: 數學 證明 科學