數學上令人全然意外的定理前5名
第一名:費馬大定理―一個困惑了世間智者358 年的謎
皮埃爾·德·費馬(Pierre de Fermat) 1601年8月20日出生於法國西南部的博蒙德羅馬涅(Beaumont-de-Lomagen) 鎮。他的商人父親並不想讓他成為一個數學家。因為在17世紀,還被稱為黑暗的歐洲,神學大行其道,後來,費馬迫於家庭的壓力走上文職官員的生涯。1631 年他被任命為圖盧茲議院顧問,請願者接待室的一名顧問。如果本地人有任何事情要呈請國王，他們必須首先使費馬或他的一名助手相信他們的請求的重要性。顧問們提供了本省和巴黎之間極重要的聯繫。除了在本地和國王之間起聯絡作用之外，顧問還保證發自首都的國王命令得以在本地區執行.
費馬另外的職務包括在司法部門的工作，資深的他足以處理最最困難的案件.但在業餘時間,費馬做了好些數學工作,比如首先發現了數論中的”親和數”.大家總是這樣,比如愛因斯坦,也曾在專利局做過雜務,但這有什麼關係呢?只要假以時日,總會出頭的.
在研究《算術》的第2 卷時，費馬研究了畢達哥拉斯定理和畢達哥拉斯三元組。例如，丟番圖討論了特殊三元組的存在性，這種三元組構成所謂的“跛腳三角形”，即這種三角形的兩條短的側邊x 和y 只相差1 ,如，x = 20，y = 21，z = 29，而
有一天,費馬在研究這個不定方程時,才智迸發的一瞬間!從而寫下了名垂千古的一個方程，儘管它非常相似於畢達哥拉斯的方程，但是卻根本沒有解存在。這也是250多年後,10 歲的安德魯·懷爾斯在彌爾頓路上的圖書館中讀到的那個方程。
費馬不是考慮方程
他正在考慮的是畢達哥拉斯方程的一種變異方程：
如同上一章提到的那樣，費馬只不過將冪從2 改為3，即從平方改為立方，但這個方程看來卻沒有任何整數解。通過反覆試算立即顯示出，要找到兩個立方數它們加起來等於另一個立方數是困難的。難道這個小小的修改真的會使具有無限多個解的畢達哥拉斯方程變成了根本沒有解的方程嗎？
費馬繼續從指數入手,發現指數越大,有解的可能性越小.於是在《算術》這本書的靠近問題8 的頁邊處，他記下了他的結論：
Cubem autem in duos cubos，aut quadratoquadratum in duos quadrato-
quadratos，et generaliter nullam in in¯nitum ultra quadratum potestatem in
duos eiusdem nominis fas est dividere.
不可能將一個立方數寫成兩個立方數之和；或者將一個4 次冪寫成兩個4 次
冪之和；或者，總的來說，不可能將一個高於2 次的冪寫成兩個同樣次冪的和。
可氣的是,費馬居然還寫下了下面的這段話:
Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detex hanc marginis exiguitas non
caparet.
我有一個對這個命題的十分美妙的證明，這裡空白太小，寫不下。
想想看呢?一個不定方程有四個未知數,居然是沒有解的!有人會信嗎?這個好惡作劇的天才草草寫下一個附加的評註，這個評註苦惱了一代又一代的數學家們!
當然後來的事,大家都知道了,美國普林斯頓大學的數學教授安德魯·
懷爾斯（Andrew Wiles）費了整整8年的時間,終於證明了這個著名的猜想,而在它證明之前,人們一度認為這個問題可能就是哥德爾不可判問題呢!遺憾的是,懷爾斯並沒有因此獲得菲爾茲獎,因為它補正後的證明發表時,年齡已經42歲了,而菲爾茲獎只頒給40歲以下的年青人,那年數學大會是在中國召開,為此還專門給懷爾斯授予一個特別獎.是的,就是這樣一個定理: 當n≥3時,
沒有正整數解.
第二名:Euler常數
由無窮級數理論可知，調和級數
是發散的。但可以證明，
存在極限(簡單地說證法就是說明這個式子單調有界)。這個極限就是著名的Euler常數.
歐拉-馬歇羅尼常數(Euler-Mascheroni constant)是一個主要應用於數論的數學常數。它的定義是調和級數與自然對數的差值的極限,也可以寫為:
其魔性在於,我們知道這是個數,但它是什麼樣的數?是不是有理數不知道,是不是無理數當然也不知道,更遑論是不是代數數或超越數呢!就難度來說,比歷史上林德曼證明π是超越數還要難!
神一樣的Euler,當年可是硬是猜出來了下面的結果呢!
後世的證明卻是動用級數或二重積分喲!
據可靠消息,如果γ是一個有理數，那麼它的分母位數將超過10242080.
下面是計算是它的計算歷程:
日期
位數
計算者
1734年
6
萊昂哈德·歐拉
1736年
15
萊昂哈德·歐拉
1790年
19
Lorenzo Mascheroni
1809年
24
Johann G. von Soldner
1812年
40
F.B.G. Nicolai
1861年
41
Oettinger
1869年
59
William Shanks
1871年
110
William Shanks
1878年
263
約翰·柯西·亞當斯
1962年
1,271
高德納
1962年
3,566
D.W. Sweeney
1977年
20,700
Richard P. Brent
1980年
30,100
Richard P. Brent和埃德溫·麥克米倫
1993年
172,000
Jonathan Borwein
1997年
1,000,000
Thomas Papanikolaou
1998年12月
7,286,255
Xavier Gourdon
1999年10月
108,000,000
Xavier Gourdon和Patrick Demichel
2006年7月16日
2,000,000,000
Shigeru Kondo和Steve Pagliarulo
2006年12月8日
116,580,041
Alexander J. Yee
2007年7月15日
5,000,000,000
Shigeru Kondo和Steve Pagliarulo
2008年1月1日
1,001,262,777
Richard B. Kreckel
2008年1月3日
131,151,000
Nicholas D. Farrer
2008年6月30日
10,000,000,000
Shigeru Kondo和Steve Pagliarulo
2009年1月18日
14,922,244,771
Alexander J. Yee和Raymond Chan
2009年3月13日
29,844,489,545
Alexander J. Yee和Raymond Chan
2011年9月21日
970,258,158
Eric Weisstein [1]
2013年7月22日
4,851,382,841
Eric Weisstein [1]
注:[1] A002852 - OEIS The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences® (OEIS®) [引用日期2016-11-05]
排名第二的理由在於人類對它的無知!
第三名:Euler複數公式
神一樣的公式,神一樣的歐拉! 在數學及許多分支中都可以見到很多以歐拉命名的常數、公式和定理。一生髮表了700多篇論文（還不包括他的著作），真是論文等身啊！當然也有不是文章等身,而是文章紋身呢!
話說上面基於Euler公式的崇拜而紋在身上可以理解,那下面這位小哥是基於什麼原因?
是為了記住公式嗎?是愛這個公式還是恨它?
這個公式的神奇之處在於，把一個並不存在的數（i）把兩個不相及的運算聯繫到了一起，並且它的應用簡直是太多了。
但複數指數有它的合理性,我們知道:當x∈R時,
那你要非得要求這個指數運算的結果是負數,那指數已然不能是實數,那可不得是虛數嗎?想想看,是不是這麼回事?
有時數學就是這樣神奇，風馬牛可以在一起：比如前面說過，林根老師也曾經把平幾中著名的托勒密定理及海倫公式統一到了三維空間，試想一下，現在的所謂幾大場理論不統一，是不是在高維空間就可以了呢？
它的特殊情形是著名數學家、把孿生質數推進一大步的張益唐所推崇的公式。
之所以排名第三,一是因為有諸多現代數學家的推崇,二是因為它是複數運算的通道.
第四名:牛萊定理
牛頓在1666年寫下了一篇關於流數術的短文，但沒有公開發表，只是在一些英國科學家中流傳。1684年，萊布尼茨正式發表他對微分的發現。1699年，一名瑞士人為了討好英國人及其自身與萊布尼茨有恩怨，指責萊布尼茨的微積分是剽竊自牛頓的流數術,同年出現了一篇匿名評論，反過來指責牛頓的流數術是剽竊自萊布尼茨的微積分。 於是弄清微積分的發明權，就成了一個需要解決的問題了。現在一般認為是二人同時發現了微積分基本定理.
可以毫不誇張地說,沒有這個定理,就不會有近代數學的跨越式發展,也不會有什麼火箭上天,原子彈的爆炸呢.
對了,微分和積分互為逆運算,你說是導數難算呢?還是積分難算呢?
第五名:Morley定理
在平面幾何,有一條被譽為“最令人神往和驚訝”的著名定理，是由英國數學家F.Morley於1904年提出的下述定理,被譽為近世紀最美的平幾定理，沒有之一。
這個定理把三等分任意角和內心的推廣聯繫到了一起：
三角形三個角的三等分線共有6條，每相鄰的（不在同一個角的）兩條三等分線的交點，是一個等邊三角形的頂點。
把它排名第5是因為平幾中少有作為猜想存在較長時間的定理,而這個定理從提出到被證明,前後存在了幾十年,並且這之後,在平幾中,再也沒有發現這麼漂亮的結論!
附錄:
在1999年7月的一個數學會議中，Paul和Jack Abad提出了他們的“一百個最偉大的定理”名單。他們給出的排列是基於一下標準；“定理在文獻中的地位、證明的質量與結果的意外性”。
這個排列當然同電影還有書排列的一樣的武斷，但是這裡的定理必定都是很有價值的結果。比如,在上世紀初,大數學家希爾伯特提出的23個數學問題,雖然是一家之言,不也是經久留世了不是。
1
根號2的無理性
畢達哥拉斯 和他的學派
公元前500年
2
代數基本定理
卡爾·弗里德里希·高斯（Karl Frederich Gauss）
1799
3
實數集的不可數
康託（Georg Cantor）
1867
4
勾股定理
畢達哥拉斯 和他的學派
公元前500 年
5
素數定理
阿達瑪（Jacques Hadamard） 和普森Charles-Jean de la Vallee Poussin(分別地)
1896
6
哥德爾不完全性定理
哥德爾（Kurt Godel）
1931
7
二次互反律
高斯（Karl Frederich Gauss）
1801
8
三分角 與倍立方體的不可能
旺策爾（Pierre Wantzel）
1837
9
圓的面積
阿基米德（Archimedes）
公元前225
10
費馬小定理的歐拉推廣(Fermat’s Little Theorem)
歐拉（Leonhard Euler）
(費馬Pierre de Fermat)
1760
(1640)
11
素數是無窮的
歐幾里德（Euclid）
公元前300
第五公設的獨立性
高斯(Karl Frederich Gauss), J,波約（Janos Bolyai）, 尼古拉.羅巴切夫斯基（Nikolai Lobachevsky）, G離曼（G.F. Bernhard Riemann collectively
1870-1880
13
多面體的歐拉公式
歐拉（Leonhard Euler）
1751
14
歐拉對級數 1 + (1/2)^2 + (1/3)^2 + ….的求和
歐拉（Leonhard Euler）
1734
15
微積分基本定理
萊布尼茲（Gottfried Wilhelm von Leibniz）【譯註】：此定理由牛頓與萊布尼茲分別得出
1686
16
一般的高次方程無根式解
阿貝爾（Niels Henrik Abel）
1824
17
棣莫弗定理
棣莫弗（Abraham DeMoivre）
1730
18
劉維爾定理和超越數的構造
劉維爾（Joseph Liouville）
1844
19
四平方和定理
拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange）
1770
20
所有素數都可以寫成兩個熟的平方和
?
?
21
格林定理
格林（George Green）
1828
22
連續統的不可數性
康託（Georg Cantor）
1874
23
勾股數公式
歐幾里德（Euclid）
公元前300
24
連續統假設的不可判定性【譯註】：對ZF公理系統
科恩（Paul Cohen）
1963
25
施羅德-伯恩斯坦定理
?
?
26
萊布尼茲的pi的級數
萊布尼茲（Gottfried Wilhelm von Leibniz）
1674
27
三角形內角和
歐幾里德（Euclid）
300 B.C.
28
帕斯卡六邊形定理
帕斯卡（Blaise Pascal）
1640
29
費爾巴哈定理
費爾巴哈（Karl Wilhelm Feuerbach）
1822
30
投票問題
貝特朗（J.L.F. Bertrand）
1887
31
拉姆塞定理
拉姆塞（F.P. Ramsey）
1930
32
四色問題
阿佩爾（Kenneth Appel）與哈肯（Wolfgang Haken）
1976
33
費馬大定理
懷爾斯（Andrew Wiles）
1993
34
調和級數的發散性
奧里斯姆（Nicole Oresme）
1350
35
泰勒定理
泰勒（Brook Taylor）
1715
36
Brouwer 不動點定理
L.E.J. Brouwer
1910
37
三次方程解法
希皮奧內·德爾·費羅（Scipione Del Ferro）
1500
38
算術平均值/幾何平均值
(Proof by Backward Induction)
(Polya Proof)
柯西（Augustin-Louis Cauchy）
波利亞（George Polya）
?
?
39
佩爾方程的解
歐拉（Leonhard Euler）
1759
40
閔可夫斯基基本定理
閔可夫斯基（Hermann Minkowski）
1896
41
皮瑟定理
皮瑟（Victor Puiseux） (建立在牛頓 1671年的一個發現的基礎上)
1850
42
三角形數的倒數和
萊布尼茲（Gottfried Wilhelm von Leibniz）
1672
43
等周定理
斯坦納（Jacob Steiner）
1838
44
二項式定理
牛頓（Isaac Newton）
1665
45
分解定理
歐拉（Leonhard Euler）
1740
46
一般四次方程的解
費拉里（Lodovico Ferrari）
1545
47
中心極限定理
?
?
48
狄利克雷定理
狄利克雷（Peter Lejune Dirichlet）
1837
49
Cayley-Hamilton 定理
Arthur Cayley
1858
50
正多面體的數量
西厄蒂特斯（ Theaetetus）
400 B.C.
51
Wilson定理
拉格朗日(Joseph-Louis Lagrange)
1773
52
集合的子集數
?
?
53
Pi是超越數
林德曼（Ferdinand Lindemann）
1882
54
哥尼斯堡七橋問題
歐拉（Leonhard Euler）
1736
55
切割弦定理
歐幾里德（Euclid）
300 B.C.
56
埃爾米特-林德曼超越數定理
林德曼（Ferdinand Lindemann）
1882
57
海倫公式
海倫（Heron of Alexandria）
75
58
組合數公式
?
?
59
大數定理
?
?
60
裴蜀定理
裴蜀（Etienne Bezout）
?
61
賽瓦定理
賽瓦（Giovanni Ceva）
1678
62
公平博弈定理
?
?
63
康託定理
康託（Georg Cantor）
1891
64
洛必達法則
伯努利（John Bernoulli）
1696?
65
等腰三角形定理
歐幾里德（Euclid）
公元前300
66
幾何級數和
阿基米德（Archimedes）
公元前260 ?
67
e 是超越數
厄爾米特（Charles Hermite）
1873
68
等差數列求和
巴比倫人
公元前1700
69
輾轉相除法
歐幾里德（Euclid）
公元前300
70
完美數定理
歐幾里德（Euclid）
公元前300
71
子集的階
拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange）
1802
72
Sylow定理
Ludwig Sylow
1870
73
上升或下降序列（Ascending or Descending Sequences）
厄爾朵思（Paul Erdos） 和 G. Szekeres
1935
74
數學歸納法原理
熱爾松（Levi ben Gerson）
1321
75
平均值定理
柯西（Augustine-Louis Cauchy）
1823
76
傅里葉級數
傅里葉（Joseph Fourier）
1811
77
k次方的和
伯努利（Jakob Bernouilli）
1713
78
Cauchy-Schwarz不等式
柯西（Augustine-Louis Cauchy）
1814?
79
中值定理
柯西（Augustine-Louis Cauchy）
1821
80
算數基本定理
歐幾里德（Euclid）
300 B.C.
81
素數的倒數和是分散的
歐拉（Leonhard Euler）
1734?
82
立方和的分解 (J.E. Littlewood的優美證明)
R.L. Brooks
1940
83
朋友定理
厄爾朵思（Paul Erdos）, Alfred Renyi, Vera Sos
1966
84
莫利定理
莫利（Frank Morley）
1899
85
被三整除性
?
?
86
Lebesgue測度與積分
勒貝格（Henri Lebesgue）
1902
87
笛沙格定理
笛沙格（Gerard Desargues）
1650
88
錯位排列公式
?
?
89
因數與餘數定理
?
?
90
斯特林公式
斯特林（James Stirling）
1730
91
三角不等式
?
?
92
皮克定理
George Pick
1899
93
生日問題
?
?
94
餘弦定理
韋達（Francois Viete）
1579
95
托勒密定理
托勒密（Ptolemy）
120?
96
容斥原理
?
?
97
克萊姆法則
克萊姆（Gabriel Cramer）
1750
98
Bertrand假設【譯註】對n>3,在n和2n-2之間必有素數
J.L.F. Bertrand
1860?
99
蒲豐投針問題
蒲豐（Comte de Buffon）
1733
100
笛卡爾符號原則【譯註】一種確定正根與負根個數的方法
你同意上面100個的說法嗎?歡迎說出你的見解.
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