06.19 基本圖形分析法：詳細分析直角三角形斜邊的中線問題（三）

【分析方法導引】

當幾何問題中出現了直角三角形斜邊上的中點時，就應想到要應用直角三角形斜邊上的中線的基本圖形的性質進行證明。接下來就應將斜邊上的中線添上。進一步的分析就是：若斜邊上的中點是條件，則直接推得斜邊上的中線等於斜邊的一半，並可直接應用兩等腰三角形推得角之間的等量關係。若斜邊上的中點是要證明的結論，則應轉而證明要證相等的這兩條線段都和這條斜邊上的中線相等，也就是轉化為等腰三角形的判定問題或者也就是證明角相等的問題。進一步也就是應用線段相等與角相等之間的等價關係來完成分析。

當幾何問題中出現了線段之間的倍半關係，且倍線段是直角三角形的斜邊時，就應想到要應用直角三角形斜邊上的基本圖形進行證明。接下來就應將斜邊上的中線添上，得到這條斜邊上的中線等於斜邊的一半，和相應的角之間的等量關係和倍半關係，問題就轉化成要證明問題中出現的倍半關係中的半線段與這條斜邊上的中線相等。

當幾何問題中出現了兩個角之間的倍半關係，且其中的半角是一個直角三角形的銳角時，就可想到要應用直角三角形斜邊上的中線的基本圖形進行證明。接下來的問題也是將斜邊上的中線添上，然後可應用兩個等腰三角形的頂角的外角等於底角的兩倍的性質來完成分析。

例5 如圖3-207，已知:E、F是正方形ABCD的邊AD的延長線上的兩點，且DE=DC，DF=DB， BF分別交CD、CE於G、H。求證:GH=FH。

圖3-207

分析:本題要證的結論是GH=FH，而條件中又給出∠ADC=90°，A、D、F成一直線，所以∠FDC也等於90°，這樣就出現了H是直角△FGD的斜邊GF的中點，從而就可應用直角三角形斜邊上中線的基本圖形的性質進行證明。現在圖形中是有直角三角形而沒有斜邊上的中線，所以應將斜邊上的中線添上，也就是連結DH(如圖3-208)，這樣要證明GH=FH，就應證明GH和FH都和DH相等，也就是要證GH=DH、FH=DH，進一步也就是要證∠HDG=∠HGD和∠F=∠HDF。

圖3-208

若先考慮證∠HDG=∠HGD。由條件DF=DB，這是兩條具有公共端點的相等線段，它們可以組成一個等腰三角形，即△DBF(如圖3-209)。又因為已知四邊形 ABCD是正方形，所以DF∥BC，這樣就出現了等腰三角形和平行線的組合關係，所以必定可以得到一條角平分線，也就是由DB=DF，得∠DBF=∠F，再由DF∥BC，且可以看作是被BF所截，得∠F=∠FBC，從而推得∠DBF=∠FBC。而由正方形的性質可得∠CBD=45°，所以就有∠DBF=∠FBC=45°/2。

圖3-209

在得到了BF是∠CBD的角平分線以後，由於DE∥BC，且DE=DC=BC，所以四邊形DBCE也是一個平行四邊形，那就CE∥BD，這樣又出現了一次角平分線和平行線的組合關係，從而一定可得到一個等腰三角形的基本圖形，由於CE是角的一邊BD的平行線，所以它一定和角的另一邊BC以及角平分線BF相交構成等腰三角形，由此就可以找到這個三角形應是△CBH(如圖3-210)，也就是由CE∥BD，得∠CHB=∠HBD和∠HBD=∠CBH，得∠CHB=∠CBH=45°/2，CH=CB。

圖3-210

由條件四邊形ABCD是正方形，CD=CB，所以CH=CD，這又是兩條具有公共端點C的相等線段，它們又可以組成一個等腰三角形，而它的頂角∠HCD是等腰直角△DCE的一個底角應是45°，所以就有∠HDC=∠DHC=1/2(180°- 45°)=135°/2。而已證∠CHB=45°，所以∠DHG=∠DHC-∠BHC=(135°/2)-(45°/2)=45°， 那麼在△HDG中應用三角形內角和定理就可得∠HGD=135°/2。所以∠HDG=∠HGD，GH=DH。再進一步由∠FDG=90°，應用等角的餘角相等的定理就可得∠F=∠HDF，FH=DH，分析就可以完成。

例6 如圖3-211，已知：△ABC中，AD是角平分線，BE⊥AD，垂足是E，EF∥CA交AB於F。求證：AF=BF。

圖3-211

分析:本題要證明的結論是AF=BF，而已知∠AEB=90°，這樣就出現了F是直角△ABE的斜邊AB的中點，所以就可以應用直角三角形斜邊上的中線的基本圖形的性質進行證明(如圖3-212)。於是要證明AF=BF，就應證明AF、BF都與EF相等，由條件AD是角平分線，且EF∥CA，所以就出現了角平分線和平行線的組合關係，也就必定構成一個等腰三角形的基本圖形，由於EF是角的一邊CA的平行線，所以它應和角的另一邊AB以及角平分線AD相交組成等腰三角形，即可找到這個三角形是△FAE(如圖3-212)，於是由EF∥CA，且被EA所截， 可得∠FEA=∠CAD，又因為已知∠BAD=∠CAD，所以有∠FAE=∠FEA，AF=EF。再由∠AEB=90°，應用等角的餘角相等就可證明∠FBE=∠FEB，BF=EF，分析就可以完成。

圖3-212

如果考慮條件中出現的AD是角平分線和BE⊥AD，就出現了角平分線和向角平分線作的垂線之間的組合關係，從而也可構成一個等腰三角形的基本圖形。由於角平分線AE的垂線BE尚未與角的邊AC相交，所以延長BE交AC的延長線於G後(如圖3-213)，就可得△ABE≌△AGE，BE=GE，那麼再由EF∥GA，也就可證明AF=BF。

圖3-213