數學史上子承父業的佳話時有流傳，這方面最早的例子可能屬於偉大的伯努利家族。而在現代數學高歌猛進的發展歷程中，也出現了強大的父子檔，他們分別是法國的
嘉當父子和德(美)國的阿廷父子。嘉當和阿廷的鼎鼎大名在數學界內可謂無人不知無人不曉，而他們的兒子子承父業之後仍然做出了巨大的貢獻，成為各自領域的核心人物，並且都榮獲過數學最高獎之一的沃爾夫數學獎。我們將分幾次分別介紹這兩對父子的光輝數學人生，限於篇幅，我們首先將分兩次介紹大小嘉當父子，而今天的主角便是嘉當父子中的老嘉當。
埃利·嘉當
埃利·約瑟夫·嘉當(EIie Joseph Cartan，1869年4月9日——1951年5月6日)出生在阿爾卑斯山附近的小村莊，父親是當地鐵匠，家境並不算太好，但所幸嘉當從小天資過人，學習能力非常突出，因此頗受當地貴族的賞識，幸而可以得到資助以及獎學金完成學業。嘉當還有幾個兄弟姐妹，不過都沒有他這種天分，他的大哥子承父業，繼承了父親的鐵匠鋪，姐妹也只是嫁人當了普通家庭婦女，儘管弟弟跟隨嘉當的腳步學習，後來也只是當了一名普通的老師。1887年，嘉當憑藉優異的成績來到巴黎，不過最開始他是學自然科學的，第二年才到巴黎高師學起了數學，先後聽過埃爾米特，達布，皮卡和龐加萊等世界著名數學大師的課程，從中收穫非常多，按嘉當自己的說法，這些大師們的諄諄教誨決定了他的整個數學生涯。
1891年嘉當從巴黎高師本科畢業後應徵入伍，在軍隊呆了一年，1892年又回到巴黎高師，在達布的指導下繼續攻讀數學博士。這一年也成為了嘉當數學生涯的轉折點，因為李群理論的創始人索福斯·李恰在這一年來到了巴黎。在此之前，嘉當已經在研究單李代數的分類問題，但苦於無人可交流討論，李的到來對嘉當來說如同天降甘霖一般，他在李身上學到了很多。
我們都知道此時的法國數學正沉浸在自己的“函數論王國”世界之中，大批數學家都集中在這一古老領域而對新興的數學學科不感興趣，加之遭受第一次世界大戰的重創，法國數學在嘉當活躍的年代裡已經被德國甩在身後了。到了20世紀30年代，法國數學已變得單一而落後，年輕數學家們對新東西幾乎一無所知，例如當時的德國哥廷根學派在諾特和阿廷(正是我們之後文章的主人公)的帶領下，正在抽象代數上高歌猛進，而法國的年輕數學家們幾乎從未聽說過“環”這樣的代數概念。法國數學的落後局面引發了一批年輕人的不滿，這才有了後來著名的布爾巴基學派，而嘉當的兒子小嘉當正是其核心人物之一。
諾特
我們總說嘉當是如同魏爾斯特拉斯那樣“大器晚成”的數學家，但嘉當的情形又不一樣，他很早就在數學上取得了重要成就，但如同上文所說，嘉當研究的數學在當時的法國並不受待見，直到嘉當晚年他的成果被廣泛傳播以及重要性得以確認之後，他在數學界的地位才得以飛速上升，成為整個20世紀最偉大的數學家之一。由此我們不得不佩服嘉當過人的勇氣和毅力，他在很長一段時間內幾乎以一人之力在孤立的環境下進行數學研究，並且徹底改變了李群李代數以及微分幾何的學科面貌。特別要提到的是，著名華人數學大師陳省身正是嘉當的得意弟子，後者徹底繼承了他的數學思想併發揚光大，深刻影響了之後微分幾何的發展。
嘉當是繼高斯和黎曼之後的又一位微分幾何大師，楊振寧老先生在稱讚陳省身時也曾說過：“千古寸心事，歐高黎嘉陳”，由此可見，嘉當的地位的確非常崇高。
數學貢獻
嘉當一生涉獵過的數學領域十分廣泛，主要集中於李群李代數，圍繞李群理論又深入研究了微分幾何以及偏微分方程等領域。
嘉當的第一個重要工作是在1894年博士畢業的時候完成的，他得到了複數域上單李代數的完全分類，在此之前，德國數學家基靈研究過分類問題，但他的證明存在錯誤，同時一些結論也含糊不清，嘉當在基靈的基礎上徹底弄清了它們之間的關係，解決了這個難題。不過談到這裡也要為基靈說上幾句公道話，由於嘉當後來的名氣太大，以至於很多基靈本人提出來的概念和結論最後都被數學界冠以嘉當的名號，這一點確實有點冤。
儘管李群是李提出的，但他的想法是在解析流形上考慮參數變換，帶來的後果是把思想都隱藏在了複雜的計算表達式中而難以再發展，而到了嘉當這裡，他明確把李群當做滿足變換條件帶有參數的元素集合，擺脫作為底層空間的解析流形所帶來的束縛，有了這樣的觀點後，李群在嘉當手中才得以快速發展。可以肯定的說，嘉當是李群李代數現代理論的奠基人，沒有嘉當就沒有如今的李群理論。
嘉當在完成復單李代數的完全分類工作時，也解決了實單李代數的分類以及單李代數的不可約表示論問題，特別的，在此過程中，他引入了旋量的概念，這個概念在之後量子力學的發展方程中起到了重要作用。
在李群的研究中大量使用微分形式也是嘉當的一大創舉，藉此嘉當又開闢了流形上分析學，並且大力發展活動標架法，自此微分幾何的面貌又煥然一新。活動標架法極大地克服了傳統固定座標系所帶來的巨大阻礙，使得很多困難的幾何問題變得容易解決，尤其是陳省身利用活動標架法給出高斯-博內特定理高維情形的內蘊證明後，整體微分幾何取得了跨越式的進展。
但實際上，嘉當對微分幾何最大的貢獻並不是活動標架法，而是他系統地利用李群李代數理論開創了黎曼對稱空間的研究。可以說，黎曼對稱空間理論開拓，發展和完善基本上都要歸功於嘉當一人，這在整個數學史都是罕見的壯舉。對稱空間比常曲率空間要更一般，但又有強烈的限制條件，因此它特別適用於數學和物理的需要，發揮著越來越重要的作用。
對於纖維叢理論的發展，嘉當也做出了巨大貢獻，他發展了纖維叢的聯絡論，推廣了流形上的黎曼聯絡概念，使得微分學的方法在纖維叢上可以繼續發揮作用。這些概念方法在如今的數學和理論物理中同樣還在發揮日益重要的作用。
嘉當的創舉遠不止此，例如他還把微分形式的方法引入到了偏微分方程組的研究之中，然後把這些理論深刻地和幾何與分析聯繫起來，取得了一系列深刻結果，這些結果甚至可以用到相對論和統一場論的研究之中。
結語
嘉當是整個20世紀數學史上最具影響力的數學家之一，他徹底改變了李群和微分幾何等數學學科的面貌，並且開闢了一系列全新的研究方向。但在很長一段時間內，嘉當的貢獻卻沒有得到應有的重視，但他始終沒有自己所研究的數學，這樣的苦心孤詣最終造就了一位影響力極其深刻的數學家。嘉當早已離去，但他的成就和精神卻長存世間，成為數學文化中最燦爛的一部分。
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