博科園：本文為數學/物理類
也許關於宇宙最值得注意的事實是，宇宙中的每一個粒子，無論何時、何地、在任何條件下，都遵循完全相同的物理定律。自然界遵循的規則對萬物來說都是相同的，通過找到描述這些規則的數學結構，我們也可以描述自然。通常，發現一種新的數學結構，會產生一種新物理框架的發展，而在該框架準確描述宇宙的地方，就可以推導出新的物理學。對於宇宙來說，最令人著迷的數學可能性之一是八元數。
八元數有機會成為宇宙如何運行的答案？還是僅僅是炒作？下面讓我們從頭開始：從物理基礎上的數學開始，一起來探索答案吧！如果你在數學上所掌握的只是實數概念，你仍然可以走得很遠。從伽利略到牛頓，從庫侖到麥克斯韋，整個經典物理學都建立在實數的基礎上。力定律、運動方程和更多的東西都可以推導出來，而不需要求助於比實數集（包括變量、常數和相關函數）更高級的數學。
要可視化單位八元數的乘法，需要在更高維度的空間中思考(左圖)，(右圖)是任意兩個單位八元數的乘法表。
但這已經需要一個花了幾千年才發展起來的數學飛躍：將負數包括在內的飛躍。當你把球扔向空中，問它什麼時候會落地，你會得到兩個關於時間的答案：一個是肯定的，一個是否定的。有時，任何一個答案都可能是正確的，但僅靠數學不能告訴你適用於哪種情況。為此，你需要問題的物理條件，這就是你如何決定哪個答案是相關的。但是，實數（即使同時包括正數和負數）其數學結構的複雜性也是有限的。
- （圖示）牛頓萬有引力定律(L)和靜電庫侖定律(R)的形式，幾乎與它們的力定律相同，可以解出經典宇宙圖像中粒子的運動方程，解這些方程不需要比實數更高級的數學。
例如，任何實數，當你平方它時，不管你開始的實數是正數還是負數，總是得到一個正數。但是，如果嘗試取實數的平方根，則只有正數才會給出實數結果。負數的平方根沒有很好的定義，如果我們把自己限制在實數集上，無論如何都不是這樣。但是有一種新的數學結構可以添加到摺疊中，它不僅可以定義負數的平方根，還可以執行僅使用實數不可能進行的新數學運算。這一進步需要完全引入一組新的數：虛數和複數，其中虛數i被定義為√(-1)。
- （圖示）這張彈跳球的閃光燈圖像，你不能確定球是向右移動並在每次反彈時失去能量，還是向左移動並在每次反彈時獲得能量的踢。物理定律在時間反轉變換下是對稱的，運動方程會給兩個解(正的和負的)，所以就可以推導出任何軌跡，只有通過施加物理限制，我們才能知道這兩個中的哪一個產生了正確答案。
實數只有一個實數部分，由實數定義：a，但是複數既有實數部分，也有虛數部分a+bi，其中a是實數部分，bi是虛數部分(B也是實數)。通過從實數學到複數的數學(包括複雜群論的數學)，一套全新的物理現象可能會出現。量子物理學不同尋常地利用了這一點，指出執行量子操作的順序產生了巨大差異。對於實數，你是乘2*3還是乘3*2都無關緊要；你會得到同樣的答案，同樣對於複數，(2+5i)*(3-4i)與(3-4i)*(2+5i)相同。
- （圖示）你可以添加一個假想軸並在複雜平面中移動，而不是僅沿實軸來回移動，實數和複數的結合形成了一種，比實數更豐富的數學結構，併產生了有趣的物理結果，而這些結果並不是僅從實數數學中產生的。
但是對於量子操作者來說，順序是非常重要的，如果你先測量一個量子粒子在x方向上的自旋，然後再在y方向上測量，這個粒子的性質，將與你以相反順序測量它的性質有根本不同。這個屬性稱為非交換性，需要複數的數學而不是實數的數學（特別是復向量空間）才能解釋它。一個複數的平方可以得到一個負的結果，這一事實催生了狄拉克方程革命性的數學解，預測了“負量子態”的存在。狄拉克最初稱這些狀態為“空穴”。
但不久之後，物理學家們意識到真正發生了什麼：這是反電子或正電子形式的反物質第一個理論預測，其實驗證實是現代量子物理學發展過程中最重要的發現之一。你可能會直觀地認為，如果能找到一種更復雜、更一般的數學結構來擴展複數（就像複數擴展實數的方）就可以找到一個新物理應用。如果你試圖取一個複數的平方根，不管它的實部和虛部是正數還是負數，總是會得到一個複數，所以這條路線不會給你帶來更豐富的數學結構。
- （圖示）多個連續的斯特恩-格拉赫(Stern-Gerlach)實驗，根據量子粒子的自旋沿著一個軸分裂量子粒子，將在垂直於新測量方向上造成進一步的磁分裂，但不會在同一方向上產生額外的分裂。
但是有一個固有的非交換擴展可以應用於複數：不是讓i2=-1，而是定義三個獨立的實體，i，j和k，其中i2=j2=k2=-1，但是組合i*j*k=-1。這組四重因子，得到的不是實數(A)或複數(a+bi)，而是所謂的四元數：a+bi+cj+dk。四元數在數學中非常有用，但它們也與大量的物理應用有關。複數表示二維平面（具有實軸和虛軸）中的點，而四元數具有足夠的維度和自由度來描述三維空間中的點。洛倫茲變換使用四元數組，它描述了當接近光速時，長度如何收縮和時間如何膨脹。
- （圖示）所謂的“狄拉克海”源於求解基於復向量空間的狄拉克方程，該方程同時產生正負能量解，負解很快就被確認為反物質，特別是正電子(反電子)，併為粒子物理學開闢了一個全新的世界。
廣義相對論可以與現代代數中的四元數聯繫起來，弱相互作用涉及四元數，三維空間旋轉也是如此。如果將系統旋轉360度，某些量子現象就會反轉，但如果你再次旋轉720度，就會恢復正常。四元數基本上是不可交換的，並解釋為什麼將三維對象繞一個軸旋轉，然後再繞另一個軸旋轉，最終狀態與繞相同的兩個軸旋轉相同的對象不同，但順序相反。所以，你可能會想，能把四元數延伸得更遠嗎？有沒有其他方法來利用數學，在那裡有另一種選擇來打開一個更豐富的結構？
答案是肯定的，但這是有代價的，更復雜的數學結構的下一步是從四元數到八元數，每個八元數有八個元素。對於四元數，乘法順序很重要，因為Q1*Q2與Q2*Q1不同，但四元數仍然是可結合的。如果有三個四元數(q1、q2和q3)，則(q1*q2)*q3=q1*(q2*q3)。但是如果你有三個八元數，它們既是非交換的，也是非結合的；乘法順序不僅重要，而且以這種全新的方式很重要。四元數的數學與許多已知物理理論有關，而八元數的數學描述是超越已知物理的運算。
- （圖示）此圖表示乘以四元數值i、j和k，分別由紅色、綠色和藍色箭頭表示，請注意它們如何在實數、虛數和另外兩個基本四元數(j和k)之間轉換。
描述出現在擴展中的現象，如大統一理論(GUTS)和絃理論。雖然八元數在物理學中的應用還只是猜想，但有很多很好的理由讓我們對這些想法感興趣。八元數可以告訴我們，從理論上講，構建超對稱量子場論需要多少時空維度。它們與特殊的李群聯繫在一起，這些特殊的李群被用來構建量子場，並通過E(8)群在超弦理論中發揮作用。我們在上文中討論的四類數（實數、複數、四元數和八元數）在抽象代數的數學領域中是特殊的。
（圖示）費曼圖（上）基於點粒子及其相互作用，將它們轉換成弦理論的類似物(下)，可以得到具有非平直曲率的曲面。在弦理論中，所有粒子只不過是一種潛在、更基本結構的不同振動模式：弦。但是，與弦理論有著緊密聯繫的八元數，真的在宇宙中扮演著重要角色嗎？或者這只是數學問題？
不會是宇宙運行的“答案”
這四類代數是唯一可以將一個數除以除零以外的任何數，而不會得到未定量的代數，這使它們成為唯一存在的賦範除法代數。如果你試圖將八元數擴展成一個16元的代數，就會得到七元數，它們遵循它們自己的非交換、非結合乘法規則，但如果試圖合併除法，就會失敗。八元數本身永遠不會是宇宙萬物如何運行的“答案”，但它們確實提供了一種強大、廣義的數學結構，具有自己獨特的性質。它包括實數、複數和四元數的數學，但也引入了從根本上獨特的數學性質。
- （圖示）七元數的乘法規則，即擴展8元素八元數的16元素代數，根據非交換、非結合的數學規則，這不會造成問題。但是對於沒有賦範的除法代數，這就是為什麼科學家們在尋找物理應用時不進一步擴展八元數的原因。
這些性質可以應用於物理學，以做出新穎的預測，八元數可以給我們一個想法，從已知物理的擴展來看，哪些可能性可能是令人信服的，哪些可能不那麼有趣，但八元數本身並沒有預測到具體的觀測結果。八元數之於物理學，就像塞倫斯之於尤利西斯，八元數也絕對有誘惑力，八元數數學結構具有難以置信的豐富性，但沒有人知道這種豐富性對我們的宇宙是否意味著什麼，更多的宇宙奧秘和數學，要有待進一步的發現和探索，例如從1、2、3…9之後，人類才突破了有0的概念！
博科園｜請看更多精彩內容：
閱讀更多 博科園 的文章
