這裡是斯科特·佩奇的《模型思考者》這本書的第三講，咱們講三個特別常用的統計模型，分別是“正態分佈”、“對數正態分佈”和“冪律分佈”。
我敢打賭你至少聽說過“正態分佈”。我們專欄以前提到過正態分佈 [1]，這次是以模型的眼光把三個重要分佈放在一起講。佩奇的模型課完全不介意使用數學，這三個概念聽起來就有強烈的數學味道……而我保證，在我們整個的系列解讀中，你都不需要拿起筆來做數學計算。
但是你需要從這個系列中獲得一點“數學感”。球迷自己不會踢，看別人踢球也會得到有一點“球感”，也能在一定程度上閱讀比賽、甚至做出很好的預測判斷，我說的數學感差不多也是這個意思。
這一講說的數學感能帶給你一個非常實用的判斷力：什麼時候應該擔心發生極端事件，什麼時候不應該擔心。我們講“蝴蝶效應”的時候說過 [2]，就算你是個小心謹慎的人，你也不應該一天到晚對什麼事情都提心吊膽。
有些天真的人認為極端事件隨時都可能在任何領域發生，真正的學者不會這麼看問題的 —— 我們的確見過很多身高超過兩米的人，但是可沒見過身高 15 米的人。而在另一些領域中，的確就是存在特別極端的例子，比如世界上有些特別有錢的人。這二者的區別是啥呢？
區別是人的身高服從正態分佈，而財富不是。
1.正態分佈
咱們先回到上一講說的那個開餐館的事兒。如果你的餐館事業已經比較穩定了，你不會太擔心顧客流量的波動。這種情況，就是正態分佈。
假設你的餐館平均每天有 100 個顧客，比較好的時候能到 115 人，比較差的時候也有 85 人，那麼畫出圖來，就是下面這樣的一條鐘形曲線 ——
曲線的橫座標代表每天來的人數，縱座標代表在比如說一個季度之中，來這麼多人的時候有多少天。圖中標記了正態分佈的兩個重要概念：平均值（μ），和標準差（σ）。對你這個餐館來說，μ = 100，σ = 15，這意味著在 68%的日子裡，你的顧客人數會在 85 和 115 之間 —— 這叫“一個標準差之內”。橫軸上距離平均值越遠的地方越是極端事件，而那些事件的縱座標大小則代表它們發生的概率。
只要你知道餐館人數符合正態分佈，平均值和標準差就都可以用平時的流量數據統計出來。有了平均值和標準差你就可以大致估算各種事件發生的概率：95%的事情都發生在兩個標準差之內，99.7% 的事情發生在三個標準差之內。有個極客說要找個美貌程度在兩個標準差之外的女朋友，那就意味著她要比 97.5%的人都漂亮。
這些概念是一名現代大學生應該具備的常識，你在課堂上可能都學過。但是也許你有個疑問：
為什麼餐館人數滿足正態分佈？
並不是所有隨機事件都滿足正態分佈。想要學會判斷什麼樣的事件滿足正態分佈，你必須有一點數學感，你需要了解“中心極限定理”。中心極限定理說，如果一個事件滿足下面這些條件，它的分佈就是正態分佈 ——
第一，它是由多個 —— 至少 20 個 —— 隨機變量*相加*的結果；
第二，這眾多的隨機變量是互相“獨立”的；
第三，每個隨機變量的方差都只有有限大；
第四，每個隨機變量對結果都要有一定的貢獻，否則如果只是其中幾個起到決定性的作用，那也不能算“多”。
簡單地說，關鍵要求有兩個：“相加”和“獨立” —— 凡是多個獨立隨機變量相加的事件，結果就會是正態分佈 [3]。
你的餐館顧客滿足這些條件。每個顧客來不來吃飯都是他自己的決定，是獨立的；而你計算的是今天總共來了多少人，是這些人的和。
直觀地說，中心極限定理說的是每個人來不來可能波動很大，但是因為人多，整體上來多少人，波動就不會有那麼大，所以滿足正態分佈。
生物學家認為人的身高是由至少 180 個基因共同決定的。有的決定你的小腿有多長，有的決定你的脖子有多長 —— 而你的身高，是所有這些因素相加之和。作為一個很好的近似，決定身高的各個基因是比較互相獨立的。所以身高滿足正態分佈。
你看這是不是有一種“冥冥之中自有定數”的感覺。雖然你不知道明天會有哪些顧客，但是你知道他們的總人數不會太離譜：三個標準差已經覆蓋了 99.7%的可能性，來超過 145 或者低於 55 人的可能性只有千分之一。這意味著兩三年都碰不到一次，所以你真的沒有必要準備那麼多桌椅。
正態分佈能給人充分的掌控感。每個案例相差都不會很大，通常翻不了天。
好，現在回到正態分佈的兩個條件，“相加”和“獨立”：如果局面不滿足這兩個條件，結果會是怎樣的呢？那你就得做好準備迎接極端事件了。
2.對數正態分佈
如果一個事件的結果不是由獨立隨機事件相加、而是由相乘決定的，它的分佈將是“對數正態分佈”。這個分佈的形狀就不是對稱的鐘形了，而是像下面這樣 ——
它有一個比較長的尾巴。這意味著其中發生極端事件的可能性比正態分佈高很多。
比如說漲工資吧。有個公司，本來員工之間工資相差不大。有一天老闆宣佈了一個漲工資計劃，說以後每年業績突出的員工，工資會增加 10%。你猜這個政策意味著什麼？
意味著員工之間的工資差距將會變得越來越大。可能老王工資本來就比小李高，這次業績又比小李好，那麼老王漲 10%，小李沒有，所以兩人的差距將會變大。換一種情況，老王表現沒有小李好，那麼小李漲 10%，兩人差距會縮小。但是，請注意，因為老王工資高，所以第一種情況導致的工資差距拉大，會超過第二種情況導致的工資差距縮小 —— 所以總體看來，全體員工的收入差距必然拉大。
這就是因為你使用了相乘的方法。換個方案，如果規定業績好的員工，不論之前的工資是多少，一律漲一萬塊錢，那麼員工之間的工資差距就不會拉大。
你喜歡讓員工的收入差距拉大還是縮小呢？不管你喜歡哪種局面，你需要這個數學感。否則是你自己設計的模型，含著淚也得接受它的結果。
請注意，對數正態分佈仍然假設每個隨機變量的作用是互相獨立的 —— 這意味著哪個員工今年能做出更好的業績，跟他去年的工資沒關係。而如果你認為員工工資代表了能力，那麼工資越高的人就越有可能做出好業績，那結果就不會是對數正態分佈了，而是比這還要容易出極端事件的“冪律分佈”。
3.冪律分佈
冪律分佈的“長尾”，比對數正態分佈更長 ——
網頁鏈接的冪律分佈
對數座標下，冪律分佈（黑線）和對數正態分佈（灰線）的比較
這意味著冪律分佈中會有大量的極端事件。
冪律分佈是*不獨立*的隨機變量作用的結果。科學家找到了很多個能帶來冪律分佈的模型，咱們這裡說其中最常見的兩個。
第一個模型是“馬太效應”。比如你去書店買書，那麼多本書選哪本呢？你會優先關注那些上了排行榜的“暢銷書”。這是人之常情，但是這對那些沒上榜的書是不公平的 —— 這等於說越暢銷的書就會越容易被關注，而越容易被關注就讓它進一步更暢銷。這就成了一個富者愈富的局面。冪律分佈使得圖書市場中會出現少量特別暢銷的書，而絕大多數書的銷售成績都很差。
而這一切都是因為你做決定的時候是在模仿別人。你看到別人都買這本書，所以你才關注它。你的買書行為不是獨立的。
明星的粉絲數量、公司的大小、城市的大小，都是冪律分佈。比如一個城市越大，其中人與人的互動就越多，就業機會和創新機會也會越多，就越能吸引到新人的加入。這就是為什麼中國有那麼多的超大城市。當然每個冪律分佈中的那個冪律參數不見得是一樣的，但是這一講我們不關心具體的數學，只關心數學感。
如果一個局面中有很多極端事件，我們基本上可以猜測它滿足某種某種冪律分佈。佩奇做了個計算，說如果美國人的身高是冪律分佈的，全美國就會至少有一個人比帝國大廈還要高，而且有一萬人會比長頸鹿高……這就是冪律分佈的威力。
另一種冪律分佈模型來自於複雜系統的“自組織”現象。一個系統在變大、變複雜的過程中，它的各個部分互相依賴的程度將會增加。到了一個臨界點，因為互相關聯實在太緊密了，一部分出個小問題就會導致整個系統出大問題，那就是雪崩式的災難。
核電站的安全性、地震、森林大火，這些事情中包含自組織，各個部分之間會有複雜的聯動。而我們說過，所謂蝴蝶效應，罪過不在蝴蝶，恰恰就是因為系統中的複雜聯動。這些系統可能平時什麼事兒都沒有，但是其中蘊含著大災難的可能性。
可能一個地區每天都發生一萬次以上的小地震，影響微不足道，但是你考慮到地震是冪律分佈的事件，就必須對大地震做好防災準備。
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總而言之，如果這個事件代表多個獨立隨機變量之和，它就滿足正態分佈，你不用擔心會有什麼極端的情況發生。如果一個事件是獨立隨機變量的乘積，那就是對數正態分佈，其中會有一些比較極端、但不是那麼極端的事情發生。而如果一個事件中的隨機變量不是互相獨立的，有互相模仿或者達成了緊密的關聯，那你就必須做好應對極端情況的準備。
如果你是一個管理者，這個數學感會讓你希望建立一個“原子化”的組織。其中的個體都獨立決定，不要互相模仿、不要有什麼民間組織和派系，實現正態分佈。這意味著你要打壓那些所謂一呼百應的“社會凝結核”，你要把壞消息的傳播控制在最低限度。
而作為個體，也許冪律分佈對你有某種誘惑……咱們會專門說說這個。
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